Розділ 4. Похідні та диференціали §1. Правила диференціювання Основні теоретичні відомості

Нехай функції , , мають в точці похідні , , .

, ( ), ,

, , ,

,

при ,

Нехай , , тоді .

Таблиця похідних:

	, ,
	, , ,

Приклад 1. Знайти похідну від явно заданої функції .

► Диференціюємо складну функцію:

.◄

Приклад 2. Знайти похідну від явно заданої функції .

► Диференціюємо частку: .

.◄

Приклад 3. Знайти похідну від явно заданої функції .

► Функція є степенево-показниковою. Для знаходження похідної використаємо метод логарифмічного диференціювання. Прологарифмуємо обидві частини виразу за основою :

.

За властивістю логарифмічної функції маємо . Тепер диференціюємо обидві частини рівняння: .

.

.

Підставимо значення :

.◄

Приклад 4. Знайти похідну від неявно заданої функції

.

► Вважаємо, що функція залежить від змінної , тобто .

,

,

,

,

,

,

,

.◄

Приклад 5. Знайти похідну від функції заданої неявно .

► Прологарифмуємо обидві частини за основою : . Скориставшись властивостями логарифмічної функції, отримаємо: . Диференціюємо обидві частини, пам’ятаючи, що є функцією від змінної :

.

.

.

.

. ◄

Приклад 6. Знайти першу похідну від функції заданої параметрично:

А) , Б) .

► Оскільки функція задана параметрично, тобто , то .

А) Знайдемо відповідні похідні:

.

Тоді .

Б) Знайдемо відповідні похідні:

, .◄

Приклад 7. Знайти другу похідну від функції .

► Спочатку знайдемо першу похідну:

.

Друга похідна від функції – це похідна від першої похідної. Знайдемо її.

. ◄

Приклад 8. Знайти другу похідну від функції .

► Знайдемо першу похідну:

.

Диференціюючи останній дріб, знаходимо другу похідну:

. ◄

Приклад 9. Знайти другу похідну від функції заданої неявно .

► Диференціюємо обидві частини, пам’ятаючи, що функція залежить від змінної : .

, , .

Тепер знайдемо другу похідну, диференціюючи дріб

.

Підставимо значення першої похідної в отриманий результат, маємо:

, отже . ◄

Приклад 10. Знайти другу похідну від функції заданої параметрично

► Для знаходження другої похідної від параметрично заданої функції використовують дві формули:

або .

Вибір формули залежить від складності першої похідної. Тому спочатку знайдемо першу похідну від функції. Оскільки

, ,

то .

Похідна від тангенса береться не складно, тому використаємо першу формулу.

.◄

Приклад 11. Знайти значення при та при , якщо

.

► Для знаходження другої похідної скористаємось формулою

.

Знайдемо відповідні похідні: Підставимо похідні у формули: , тому при маємо

.

.

При отримаємо .◄