Методы расчета

При расчете на устойчивость 1-го рода требуется найти ту нагрузку (Р_кр), при которой новое деформированное состояние, в которую перешла система после потери устойчивости, будет состоянием равновесия. Таким образом, здесь можно использовать все методы, которые применяются для расчета равновесных систем: статические и энергетические.

1. Сущность статического метода: т.к. система находится в равновесии, то в равновесии находится и любой бесконечно малый элемент этой системы. Записав дифференциальное уравнение равновесия бесконечно малого элемента в деформированном состоянии под действием всех внутренних и внешних сил, и проинтегрировав эти уравнения, находим форму потери устойчивости и критическую нагрузку.

2. Энергетические методы делятся в основном на две разновидности:

а) применение принципа возможных перемещений – т.к. деформированное состояние есть состояние равновесия, критическая нагрузка определяется путем приравнивание нулю суммарной работы внешних и внутренних сил на малых возможных перемещениях из деформированного состояния А+W=0.

б) применение энергетического критерия равновесного состояния: полная потенциальная энергия системы, находящейся в равновесии, имеет экстремальное значение, поэтому критическую силу определяем из условия экстремума полной потенциальной энергии системы в деформированном состоянии.

3. Динамический метод.

4. Вариационные методы.

5. Экспериментальные методы.

Рис. 31

Рис.31

Число возможных форм неустойчивого равновесия системы определяется понятием степени свободы число независимых геометрических параметров, определяющих положение всех точек деформированной системы. Например, стержень, состоящий из 2-х абсолютно жестких звеньев, связанных между собой шарниром с пружинной, обладает одной степенью свободы, т.к. деформированное положение системы может полностью определяться одним параметром (у или ) (рис.31)

Устойчивость центрально сжатого прямого стержня

а) Рассмотрим прямолинейный стержень на двух шарнирных опорах, на которой с двух концов действует продольная сила Р (рис.32). Выражение изгибающего момента в некотором сечении х деформированного стержня будет:

М_х=Ру (57)

Рис.32

С другой стороны, уравнение изогнутой оси стержня будет:

(58)

Обозначим , тогда

(59)

дифференциальное однородное уравнение изогнутой оси элемента.

Решение этого уравнения ищем в виде:

(60)

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий:

При х=0; у=0; с₂=0; с₁0

При х=l; у=0; с₁sinкl=0, sinkl=0, тогда

kl=n;

с другой стороны, . Сравнив эти два выражения получим , а при n=1 (минимальное .значение Р_кр).

(61)

б) Рассмотрим элемент, защемленный с одного конца и свободным другим концам (рис.33).

Рис. 33

Начальные условия:

При х=0; у=0; с₁0; с₂=0

При х=l; у=0; с₁кcoskl=0; с₁0, к=0, тогда coskl=0

или

(62)

в) Рассмотрим элемент, защемленный с двух концов (рис.34)

Рис.34

Начальные условия:

При х=0; у=0; у=с₁к cos kх=0 с₁к=0; с₁=0.

При х=l/2; у=0; у=-с₂к ; ; ;

или

(63)

г) Рассмотрим элемент, защемленный с одного конца и шарнирным другим концом (рис.35):

(64)

Рис.35

Получили неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого ищем:

, где

Начальные условия:

При х=0; у=0

х=l у=0

х= l у=0.

В результате получим:

(65)

Анализируя формулы (61), (62), (63), (65) получим общую формулу

(66)

 - коэффициент, зависящий от закрепления концов элементов (рис.36)

Рис.36