Общий случай действия возмущающей нагрузки

а) Внезапно приложенная возмущающая сила постоянной величины.

К упругой системе, находящейся в состоянии покоя в момент времени t₀ прикладывается возмущающая сила P(t)=P. Уравнение динамического равновесия без учета затухания для t>t₀ будет:

(P=const)

(16)

Полное решение

(17)

, тогда (1-cost)= (дин. коэффициент силы Р при вынужденных колебаниях).

При t= _мах=2.

График колебательного движения точки приложения силы Р.

Рис.18

б) Внезапно приложенная и внезапно прекратившая свое действие сила постоянной величины.

Принимаем, что сила Р прикладывается внезапно в момент времени t₀и сохраняет постоянное значение в течение периода Т_р.

Тогда для периода t₀<t<t₀+T_p решение имеет вид (17), в период t>t₀+T_p, т.е. после прекращения действия силы Р, система будет свободно колебаться (первый член 17).

Причем совпадение условий движения в конце первого периода (t=t₀+T_p) и начала второго, позволяет определить дин. коэффициент силы Р:

(18)

(т.к. ).

Как видно величина  зависит от соотношения между периодом действия нагрузки (Т_р) и периодом свободных колебаний (Т) системы.

в) Кратковременный импульс силы (S)

Пусть импульс сосредоточенной силы Р(t) имеет величину S и действует в течении малого промежутка времени (периода) . Среднее значение силы за этот период

(19)

Тогда приняв вместо силы Р(t) ее среднее значение Р, можно воспользоваться формулой (18) для определения динамического коэффициента. Обе части этого выражения умножим на Р, и правую часть умножим и разделим на . Тогда в левой части получим статическую силу, эквивалентную данному импульсу по своему действию

(20)

Т.к. для любого  соотношение при 0, , то наиболее опасным из всех ударных импульсов, является мгновенный импульс, для которого:

Р_экв=S (21)

Г) Ударная нагрузка

При ударе движущегося тела по упругой системе, например в случае свободного падения груза Q=mg на конец балки (рис.19), кинетическая энергия движения груза передается балке; балка деформируется и возникают равные между собой силы взаимодействия груза и балки. Эта сила наз. силой удара.

Рис.19

Она имеет определенную продолжительность, т.е. период действия , измеряющийся сотыми или тысячными долями секунды, в течение этого периода эта сила изменяется по величине.

Р

Примерный график силы удара

Сила удара характеризуется ее наибольшей величиной Р, периодом и импульсом S, равным площади диаграммы графика

(22)

В то же время известно, что импульс силы удара

(23)

 - скорость движущейся массы m.

Если принять, что в течении период Т_р сила Р постоянна импульс этой силы S=PT_p и представляет площадь четырехугольника (штриховая линия).

Зная величину импульса ударной нагрузки (S), период ее действия и круговую частоту собственных колебаний (), можно найти статическую силу, эквивалентную силе неупругого удара (20)

Если считать импульс мгновенным, то динамический коэффициент ударяющегося груза Q будет:

Т.е.  зависит от S и от  . Чем жестче конструкция, тем больше динамический коэффициент удара при постоянном S.

Пусть с высоты (h+y_ст) падает груз Q;

Скорость  примем равную скорости свободного падения с этой высоты . Подставим это выражение  в (24) получим квадратное уравнение относительно . После решения этого уравнения получим

(25)

Если h>>у_ст, то отношение . Если пренебречь единицами формуле (25), получим

(26)

Если же груз приложить внезапно (т.е. h=0), то из формулы (25) получим =2.