Свободные колебания балок с бесконечно большим числом степеней свободы (равномерно распределенной массой)
Примером
системы с бесконечно большим числом
степеней свободы может быть балка с
равномерно распределенной массой с
интенсивностью
и с постоянной жесткостью EJ
(рис.24).
Рис.24
Понятно, что и спектр частот такой системы состоит из бесконечного множества частот. Для их определения рассмотрим дифференциальное уравнение упругой линии
(45)
М – изгибающий момент в произвольном сечении балки.
На основании теоремы Д.И.Журавского
(46)
где р – интенсивность инерционной нагрузки.
Здесь применяются частные производные, т.к. перемещение у является функцией двух переменных координаты х и времени t.
Из (45) и (46)
(47)
С
другой стороны, интенсивность инерции
нагрузки балки может быть выражена
через погонную массу
и ускорение при колебаниях
:
(48)
Приравнивая (47) и (48) получим:
или
(49)
Это линейное уравнение четвертого порядка в частных производных свободных колебаний системы с бесконечно большим числом степеней свободы.
Как видно, первый член зависит от t, а второй от х.
Решение уравнения (49) ищем в виде:
(50)
Тогда (49) примет вид:
(51)
или, выразив через отношения, получим
(52)
Обозначим
(53)
или
(54)
Эти уравнения имеют следующее решение:
(55)
где
(56)
Значение к должно определяется из условий на концах балки, зависит от способа закрепления этих концов.
Например, для балки на двух шарнирных опорах: прогибы и изгибающий момент должны быть равны нулю.
и решая получим:
Из (56) получим
n – произвольное целое число.
Рис.25
Таким образом, спектр частот – бесконечное множество. Каждой частоте соответствует своя форма колебаний, т.е. своя форма стоячей волны (рис.25):Частота основного тона:
Рис. 25
-
интенсивность равномерной нагрузки на
балку.
Сравнивая
с формулой частоты свободных колебаний
системы с одной степенью свободы
,
найдем сосредоточенную силу Qэкв.
эквивалентную равномерно распределенной
нагрузке по частоте свободных колебаний
балки
Т
Рис.26
аким образом, для нахождения частоты основного тона колебаний балки с равномерно распределенной нагрузкой, можно заменить эту нагрузку половиной ее равнодействующей, приложенной посередине пролета.Для жестко заделанной балки (рис.26)
Рис.27
В случае действия гармонической нагрузки, вместо однородного дифференц. уравнения, имеем неоднородное:
(57)
Решение этого уравнение без правой части, выражающее свободные колебания, было рассмотрено выше.
Вынужденные колебания балки при действии вибрационной нагрузки определяется частным решением уравнения (57).
Для балки на двух опорах с силой P(t) посередине
где
.
-
гиперболо-круговые функции, для которых
имеются специальные таблицы значений.