Решение задачи устойчивости энергетическим способом

Известно, что при устойчивом состоянии системы его потенциальная энергия достигает минимума, при неустойчивом состоянии максимума, а при безразличном состоянии остается постоянной.

Рис.47

Здесь - приращение потенциальной энергии, W – приращение работы внутренних сил, А – приращение работы внешних сил.

На основании выше приведенных формул, при выводе системы из равновесного состояния при устойчивом равновесном состоянии, приращение потенциальной энергии – положительно, при неустойчивом – отрицательно, а при безразличном состоянии – равно нулю.

Примем последнее условие при рассмотрении задачи, т.е.

W=А (84)

Известно, что для упругих систем

(85)

При изгибе

(86)

Для ферм

(87)

Учитывая дифференциальное уравнение изогнутой оси в (86) получим:

(88)

Работу внешних сил получим

(89)

Подставив (88) и (89) в (84) получим

(90)

Здесь m и n соответственно количество элементов рамы и стоек, нагруженных продольный силой.

Если принять, что только один элемент рамы нагружен продольной силой, то критическая сила может быть определена по формуле:

(91)

Устойчивость стерженевых систем

Рис.48

Принимаем упругий стержень как систему с бесконечно большим числом степеней свободы (рис.48).

(92)

здесь

Если учесть, что функция у(х) очень мала и принять cos=1, sin==tg=у(х), уравнение (92) примет вид

(93)

С другой стороны

(94)

Учитывая это выражение в (93), и приняв, получим

(95)

Отсюда получаем окончательное дифференциальное уравнение равновесия для рассматриваемого стержня

(96)

Определим полную потенциальную энергию упругого стержня. Эта энергия состоит из трех величин:

1. Приняв нерастяжимость стержня и отсутствие деформации сдвига (Q=0), потенциальную энергию внутренних сил получим в виде:

(97)

2. Потенциальная энергия от действия поперечных сил будет

(98)

3. Потенциальная энергия от действия продольных сил р(х) будет

(99)

Можно показать, что .

Тогда

(100)

Таким образом, полная потенциальная энергия будет

(101)