Основные способы решения задач динамики сооружения

1. Статической способ. Он основывается на принципе Даламбера. Согласно этому принципу в любой момент времени рассматриваемая система должна находиться в равновесном состоянии от действия внешних и внутренних сил (включая силы внутреннего сопротивления) и возникающих при колебаниях инерционных сил.

Отметим, что основополагающее значение принципа Даламбера в динамике сооружений состоит в том, что решение динамической задачи может быть сведено к решению статической задачи, отнесенной к определенному моменту времени.

2. Энергетический способ, основанный на применении закона сохранения энергии согласно которому, сумма потенциальной и кинетической энергии упругой системы является величиной постоянной во времени.

Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Упругая система, в результате взаимодействия с каким-либо другим физическим телом, выводится из состояния равновесия. После прекращения этого взаимодействия, система будет совершать свободные колебания.

Рассмотрим балку жестко закрепленную одним концом, и с точечной массой «m» на свободном конце. Это система с одной динамической степенью свободы (рис.9).

Рис.9

Из 2 закона Ньютона известно, что или Q=mg.

Под действием груза Q точка его приложения переместится вниз на у_ст. (сплошная линия). Предварительно отметим, что за положительные будем считать силы, перемещения скорости и ускорения, направленные вниз.

Далее происходит свободное колебание балки. При этом на массу «m», отклонившуюся от положения статического равновесия, на величину у будут действовать следующие силы: F – восстанавливающая (упругая) сила, стремящая вернуть массу в положение статического равновесия. Она направлена в сторону, противоположную перемещению и согласно принятым правилам знаков, считается отрицательной.

J – сила инерции, она направлена в сторону, противоположную ускорению (принцип Даламбера) также считается отрицательной.

Сила F пропорциональна величине отклонения «у» точки, в которой сосредоточена масса.

где наз. жесткостью конструкции.

Сила J согласно принципу Даламбера

(у - ускорение)

Уравнение динамического равновесия всех сил, действующих на массу:

(1)

Обозначим:

(2)

 - круговая частота своб. колеб. .

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с 1 ст.св. (без учета сил сопротивления среды).

Общее решение этого диф. уравнения можно представить в виде:

(3)

Постоянные интегрирования «а» и «b» определяются из начальных условий:

1) отсюда у₀=b; у₀ – начальное перемещение.

2)

Тогда решение (3) будет иметь вид:

Обозначим и (4)

Тогда решение (3) запишется в виде:

или

(5)

у_mах=А – амплитуда колебаний. (т.к. ).

Из (4)

т.е. при собственных (свободных) колебаниях амплитуда А зависит только от начальных параметров.

Так же

₀ – начальная фаза колебаний, характеризующая отклонение массы в начале движения. Из (4) в начале движения (при t=0, b=y₀) имеем y₀=Asin₀.

Тогда

Зададимся значением t=t₁. и тд.

т.е. результаты равные. Следовательно, - период колебания – время, в течении которого происходит одно полное колебание.

[сек.]

График функции (5) - синусоида (рис.10)

Рис.10

- круговая частота своб. колебаний – т.е. число циклов колебаний в течении 2 секунд.

Число полных циклов колебаний, совершаемых в одну секунду, называется частотой колебаний

[герц]

Число колебаний в минуту наз. технической частотой

Свободные затухающие колебания систем с одной степенью свободы.

Как известно, энергия системы при колебаниях меняется. Причины этому могут быть различные: сопротивление воды, воздуха, трения в опорных устройствах и др. Чтобы преодолеть эти сопротивления затрачивается часть запаса энергии колебание. В результате этого амплитуда колебания постоянно уменьшается и колебание затухает. При этом предполагается, что частота колебания остается постоянной. Конечно, невозможно точно определить силу сопротивления. Обычно эта сила принимается прямо пропорционально скорости колебания: R=-ky, направлена в сторону, противоположную ее движению.

к – сила сопротивления, вызывающая свободные колебания со скоростью равной 1.

Уравнение динамического равновесия в этом случае будет (рис.11)

Рис.11

обозначим

Тогда дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы в сопротивляемой среде будет:

(6)

Решение этого дифференциального уравнения ищем в виде:

(7)

Здесь е – основание натуральных логарифмов е2,72

Из начальных условий: y_t=0=y₀; b=y₀

Обозначим .

Подставив их значения, уравнение (7) получим в виде

(8)

Как видно, при t, колебание затухает, но на практике это затухание происходит намного раньше. А – амплитуда свобод. затухающих колебаний.

₀ – характеризует отклонение точечной массы в начальное мгновение и называется начальной фазой колебаний.

График функции (8) свободных затухающих колебаний имеет вид (рис.12):

Рис.12

учитывая

получаем:

величина << мала, поэтому затухание практически не влияет на круговую частоту свободных колебаний.

Возьмем отношение двух последовательных амплитуд свободных колебаний.

 - наз.логарифмический декремент колебаний, или скорость колебаний.

 - наз. коэф. затухания.

В системе с затуханием зависимость между какой-либо внешней силой Р и перемещением у нелинейно, поэтому при каждом цикле колебаний на диаграмме Р-у получается замкнутая кривая, наз. петлей гистерезиса. Принято, что при гармонических колебаниях она имеет форму эллипса с центром в начале координат.

Потенциальная энергия, поглощенная за один цикл колебания, наз. коэф. поглощения энергии

Тогда

Учитывая, что очень мало отличается от 1, а  - бесконечно малая величина, .

Тогда .

Обозначим отношение - коэффициент неупругого сопротивления материалов в конструкциях или амплитуда деформации.

Он определяется экспериментальным путем для разных материалов и для разных величины амплитуд инерционных сил машин

тогда

Отсюда ; т.е. к – не постоянный коэффициент, а зависит от колеблющейся массы и жесткости конструкции.

 - определяется экспериментально для различных материалов. Например

для ж/б конструкции =0,050,10

для метал. конструкции =0,010,025.