Приближенная оценка частоты основного тона колебаний.

Для случая, когда степень свободы 4, определение частоты собственных колебаний по (31) очень усложняется. Для отыскания первой частоты (используемой в дальнейших расчетах) могут быть применены различные приближенные методы, не требующие решения векового уравнения. Проф. Смирнов А.Ф. установил пределы, между которыми заключена частота основного тона колебаний. Эти пределы называют двусторонними оценками частоты _min и записываются в виде:

(34)

где ; .

Использование симметрии

Для симметричных систем с симметрично расположенными массами возможны симметричные и обратносимметричные формы колебаний, при которых силы инерции будут симметричны и обратно симметричны. В этом случае перемещения вычисляются как групповые от парных симметричных или обратносимметричных единичных сил.

Побочные же перемещения обращаются в нуль.

Это так же приводит к распаду уравнения частот на два независимых уравнений, из которых одно позволяет найти частоты симметричных колебаний, а другое обратносимметричных. Т.к. групповые перемещения находятся от парных единичных сил, то соответствующая масса должна входить в вековые уравнения с коэффициентом ½.

Энергетический способ определения частот свободных колебаний

Как известно по закону сохранения энергии

U+V=const (35)

(U- потенциальная энергия; V – кинетическая энергия)

В каждом цикле колебаний происходит переход одного вида в другой.

В момент наибольшего отклонения массы от положения статического равновесия потенциальная энергия достигает наибольшего значения (U_max), а скорость и следовательно, кинетическая энергия убывает до нуля (рис.21, а).

В момент перехода массы через положение статического равновесия U=0, а V достигает наибольшего значения V_max (рис.21,б), минимальное значение U и V равны 0.

Рис.21

Из формулы (35) получаем

(36)

(37)

где . Потенциальная энергия деформации изгиба стержня с сосредоточенными массами выражена через работу внешних сил Q_i на перемещения y_i. n – число масс. Максимальная кинетическая энергия

(38)

а скорость любой массы в произвольный момент времени . Максимальное ее значение будет при ; .

Подставив в (38), получим

Приравнивая их друг другу (36), получим формулу для определения искомой частоты колебаний

(39)

Для балки с распределенной массой суммирование заменятся интегрированием по длине балки. В этом случае

(40)

Расчет методом сил систем со многими степенями свободы

При действии на упругую систему со многими степенями свободы гармонической нагрузки, М, Q, N также будут изменяться во времени, а их наибольшие значения будут зависеть от частот возмущающих сил. Если все возмущающие силы, действующие на систему, имеют одну и ту же частоту  и изменяются в одной фазе, то силы инерции, а следовательно М, Q, N достигают наибольших значений в одно и то же время.

Для системы со многими степенями свободы возможны несколько случаев резонанса, которые наступают при совпадении частоты с теми или иными частотами свободных колебаний системы.

В задачу динамического расчета входит определение амплитуд внутренних усилий и напряжений.

Для этого так же можно применять метод сил и метод перемещений.

Метод сил. Рассматриваем упругую систему с точечными массами, на которую действуют вибрационные cилы (рис.22)

Рис.22

Перемещение любой массы m_i в произвольный момент времени t выражается так:

(41)

где J₁,J₂, … J_i, … J_n силы инерции соответствующих масс; _i1,  _i2, … _ii, …  _in – перемещения по направлению силы инерции , вызванные единичными силами , приложенными в точках нахождения соответствующих масс; _ip – перемещение по направлению J_i от амплитудных значений вибрационных нагрузок.

При гармонических вынужденных колебаниях с частотой 

Сила инерции , отсюда

(42)

Подставляя (42) в (41) получим:

здесь

Т.о. можно получить систему уравнений, позволяющую определить наибольшие (амплитудные) значения сил инерции:

(43)

Сама система уравнений по форме аналогична системе канонических уравнений метода сил. Однако неизвестными в ней являются не реакции отброшенных связей в статически неопределимой системе, а амплитуды сил инерции масс, которые могут возникнуть как в статически определимой, так и в статически неопределимой системе.

После нахождения наибольших значений сил инерции J₁,J₂,…J_n из решения системы уравнений, эпюра динамических изгибающих моментов

При использовании симметрии

Метод перемещений. При использовании этого метода основная система получается путем введения связей по направлению неизвестных перемещений Z₁, Z₂,…Z_k,…Z_n соответствующих масс m₁, m₂,…m_k,…m_n (рис.23)

Рис.23

Силы инерции выражаются как функции перемещений.

При этом уравнение, выражающие равенство нулю динамической реакции введенной связи по направлению любого перемещения Z_i с учетом силы инерции выражается так:

учитывая (как в методе сил), что

, получим систему уравнений

(44)

Реакции определяются от единичных перемещений основной системы, приложенных в тех сечениях, где находятся точечные массы; R_ip- реакции от амплитудных значений вибрационных нагрузок; определяются в основной системе.

После нахождения неизвестных перемещений Z₁,Z₂,…Z_n, эпюра динамических изгибающих моментов строится в соответствии о выражением: