14. Математическое описание сау. Режимы движения автоматических систем.

Математическое описание элементов и систем применяют в тех случаях, когда необходимо изучить систему и элементы в процессе работы, при наличии возмущающих и управляющих воздействий. Математическое описание может быть аналитическим, графическим или табличным. Для получения математического описания системы обычно составляют описание ее отдельных элементов. Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнение САУ.

Уравнение, а также структурная схема САУ носит название математической модели системы. Такое название обусловлено тем, что при математическом описании, т.е. составлении уравнений, физических процессов всегда делают какие-либо допущения и приближения. Математическая модель одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной. Исследования начинаются с простейших моделей и усложняются в процессе решения.

Если возмущающее и управляющее воздействие в системе непрерывно изменяются, то система находится в динамическом режиме. Динамическим режимом называется такой режим, в котором основным состоянием системы является неустановившееся состояние. Неустановившееся состояние характеризуется тем, что действующее на элемент или систему воздействие вызывает в системе или элементе ряд переходных процессов. При поступлении на вход системы воздействия ее движение складывается из собственного или свободного движения и из реакции на входное воздействие, т.е. из вынужденного движения. Переходной процесс представляет собой такое собственное или свободное движение системы, которое зависит от динамических свойств элементов системы и начальных условий. Собственное движение устойчивой системы с течением времени затухает и она приходит в установившееся состояние. В установившемся состоянии обязательно все воздействия остаются неизменными.

Режим, который характеризуется установившимся процессом в элементе или системе называется статическим.

Действующая САУ, находящаяся в динамическом режиме и ее описание является основным. Статический режим в САУ представляет собою в определенной степени идеализацию, которую принимают для описания элемента или системы после окончания переходного процесса.

15. Описание элементов и систем в динамическом режиме. Определение элементарного звена и его дифференциальное уравнение.

Зависимость выходных величин от входных в динамическом режиме записывается в виде дифференциальных или разностных уравнений, в которых независимой переменной является время. Для теоретического исследования САУ необходима оценка каждого ее элемента не по устройству и назначению, а по зависимости от вида описывающего этот элемент. Благодаря тому, что многие элементы отличающиеся между собой по конструкции или по физической природе характеризуются однотипными уравнениями динамики, создается возможность все эти элементы представлять одной типовой моделью. Однако, такие модели могут оказаться достаточно сложными, а их число большим, что затрудняет исследование динамических свойств системы. Поэтому в теории автоматического управления элементы систем с точки зрения их динамических свойств представляют с помощью небольшого числа элементарных динамических звеньев.

Под элементарным динамическим звеном понимается искусственно выделяемая часть автоматической системы, соответствующая какому-либо элементарному алгоритму. Необходимо помнить, что звено обладает направленностью действий, т.е. направлением прохождения сигнала с входа на выход. Уравнение динамики всей системы можно получить из уравнений ее звеньев.

Типовые элементарные звенья характеризуются свойствами линейности и стационарности.

Звено называется линейным, если выходная величина y(t) связана с входной x(t) линейной зависимостью. Звено называется стационарным, если его реакция не зависит от времени.

Элементарные звенья описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Если функциональный элемент или система описывается уравнением высокого порядка, то его математическая модель может быть представлена посредством нескольких элементарных звеньев.

Математическую модель элементарного звена в общем виде можно представить как:

1.14

где а0,а1,а2,b0,b1,b2 – постоянные коэффициенты входной и выходной величины.