16. Операторная форма записи дифференциального уравнения. Передаточная функция.

Динамика функциональных элементов и систем управления описывается дифференциальным уравнением, которое в общем виде можно записать как

1.15

Необходимо, чтобы n >m, для работы системы. Описание существенно упрощается если от дифференциального уравнения перейти к операторной форме. Для этого необходимо операцию дифференцирования заменить на оператор дифференцирования

р1 – оператор дифференцирования

В результате такой замены мы получили алгебраическое уравнение

1.16

Если в уравнении (1.15) вместо функции времени у(t) и х(t) ввести функции х(р) и у(р) комплексного переменного р=α±jβ , поставив условием что записанные функции связаны отношением

1.17

то оказывается что дифференциальное уравнение, содержащие х(t) и у(t) равносильно алгебраическому уравнению вида

1.18

Следует отметить, что трансформация дифференциального уравнения в представленное алгебраическое возможно только при нулевых начальных условиях. И это преобразование в математике называют преобразованием Лапласа. Функции х(р) и у(р) называют изображениями функций х(t) и у(t), а сами функции х(t) и у(t) называют оригиналами функций х(р) и у(р).

Переход от искомой функции у(t) к изображению у(р) называют прямым преобразованием Лапласа, и обозначают

1.19

Переход же от изображения у(р) к оригиналу у(t) называют обратным преобразованием Лапласа

1.20

Из сравнения уравнений (1.18) и (1.16) видно, что обе формы записи совпадают, из чего следует, что оператор дифференцирования отождествляется с комплексной переменной р при нулевых начальных условиях.

Использование операторной формы представления уравнений позволяет избежать решения дифференциальных уравнений путем решения системы алгебраических уравнений. Нахождение оригиналов по изображениям можно провести используя либо справочные таблицы, либо формулу разложения.

Взяв за основу формулу (1.18) можно найти отношение

1.21

Передаточной функцией W(р) называют отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Из уравнения (1.21) можно записать

1.22

Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функции называется характеристическим многочленом, а в случае приравнивания его у нулю уравнение называется характеристическим.

1.23

Корни характеристического уравнения называют полюсами передаточной функции. Корни многочлена, расположенного в числителе передаточной функции, называют нулями передаточной функции.

17. Понятия о типовых входных сигналах воздействиях

Оценку динамических свойств САУ, т.е. их поведение в переходных режимах можно выполнить различными методами. Решение динамического уравнения, которым описывается звено или система при заданных начальных условиях также отображает их динамику. Оно представляет переходный процесс звена или системы во времени. Для сравнения различных динамических свойств различных элементов рассматривают их переходные процессы, при нулевых начальных условиях и типовых входных воздействий.

Начальные условия – это значение выходной величины, а также всех ее производных в момент времени равное нулю, при условии, что до этого времени внешнее воздействие отсутствовали. Эти начальные условия являются нулевыми, т.к. y(t0)=y´(0)=…=yn(0)=0.

В качестве типовых входных воздействий принимают определенные формы воздействий, наиболее удобные с точки зрения их математического описания, практической реализации и описания реакции звена на эти воздействия. Иными словами, входное воздействие должно быть простым, не затрудняющим решение уравнения и соответствовать самому тяжелому режиму работы системы из числа встречающихся при ее эксплуатации.

Различают типовые входные воздействия, описываемые следующими функциями:

1. ступенчатой

2. импульсной

3. гармонической

Первые две функции представляют собой временные характеристики звена или системы, а последняя – частотные характеристики.

1. Единичное ступенчатое воздействие.

Оно описывается единичной ступенчатой функцией:

а) "Включение" 1(t)

2. Импульсное воздействие (единичный импульс).

Импульсное воздействие описывается единичной импульсной функцией d - Дирака (d(t)) является математической идеализацией короткого импульса, площадь которого равна единице, при его длительности равной нулю и амплитуде равной