2. Похибки вимірювань.

При вимірюванні будь-якої величини завжди можна допустити похибку. При проведенні вимірювань необхідно знайти не тільки шукану величину, а й оцінити допущену при цьому похибку, на яку впливають недосконалість конструкції вимірювальної апаратури, характер і умови її експлуатації, а також дії спостерігача.

Розрізняють абсолютну і відносну похибку. Абсолютна похибка дорівнює різниці між дійсним значенням вимірюваної величини та її одержаним значенням :

. (6.1)

Відносна похибка – це відношення абсолютної похибки до дійсного значення величини:

. (6.2)

Чим вища похибка, тим нижча точність, і навпаки – чим вища точність, тим нижча похибка.

Похибки поділяють на випадкові, систематичні і промахи.

Промахи, або грубі помилки, мають місце при неправильному запису показників приладів або вимірювального інструменту. Виявити промахи можна, коли спостерігач повторює вимірювання або дає це зробити іншому спостерігачеві, але ці методи не є абсолютно надійними. Виявлення грубих помилок також проводиться статистичними методами.

Гіпотеза, відповідно до якої визначаються грубі помилки, полягає в тому, що спостереження містить грубу помилку, якщо , де і – відповідно середнє арифметичне та середнє квадратичне відхилення, обчислені за всіма іншими вимірюваннями (крім сумнівних); – величина, значення якої залежить від числа проведених вимірювань і вибраного значення довірчої ймовірності або рівня значущості (значення наводиться у відповідних таблицях).

Випадкові похибки спричиняються різними факторами, дія яких неоднакова в кожному досліді, вони носять випадковий характер і не можуть бути враховані. За наявності випадкових похибок проводиться декілька вимірювань і визначається середнє арифметичне значення показника. Чим більше проведено вимірювань, тим точніше отримане значення характеризує шуканий показник.

Систематичні похибки мають місце, коли фактори, що їх спричиняють, діють цілком однаково при багаторазових вимірюваннях однієї і тієї самої величини. Систематичні похибки прийнято ділити на чотири групи:

Перша група – похибки, природа яких може бути достатньо точно визначена. Ці похибки називають поправками.

Друга група – похибки, природа яких відома, а величина не відома.

Третя група – похибки, про наявність яких ми не підозрюємо, але які можуть бути дуже значними за величиною. Ці похибки є найбільш небезпечними. Для усунення цих похибок треба ретельно продумати методику вимірювань або проводити їх різними методами.

Четверта група – похибки, зумовлені властивостями вимірюваного об’єкта.

3. Довірча ймовірність і довірчий інтервал. Число повторюваностей у дослідах.

Нехай у результаті вимірювань деякої величини одержано середнє арифметичне . Позначимо через ймовірність того, що результат відрізняється від дійсного значення на величину, яка не перевищує – похибку вимірювань. Запишемо це співвідношення так:

. (6.3)

Інтервал значень вимірюваної величини від до дорівнює і називається довірчим інтервалом, а – довірчими границями. Ймовірність називається довірчою ймовірністю, коефіцієнтом надійності або просто надійністю результатів досліду; – точкова оцінка результатів вимірювань; – інтервальна оцінка цих результатів.

Рівність (6.3) означає, що з ймовірністю, яка дорівнює , значення вимірюваної величини не виходять за довірчі границі , тобто не будуть меншими за і більшими за . При цьому чим більша надійність, тим більшим повинен бути й відповідний довірчий інтервал, і чим більший довірчий інтервал, який ми задаємо, тим більша ймовірність того, що одержані результати вимірювань не вийдуть за його межі.

Таким чином, для характеристики вимірюваної величини та її випадкової похибки необхідно задати два числа: похибку (або довірчий інтервал) і довірчу ймовірність, тобто коефіцієнт надійності, значення яких дають можливість оцінити надійність результатів вимірювань.

При вимірюваннях, коли потрібно встановити закономірність лише в загальному вигляді, достатньо прийняти довірчу ймовірність 0,7…0,8; при більш глибоких дослідженнях – 0,9…0,95. Коли для закономірності, що вивчається, потрібно визначити дуже точні параметри, які використовуються в подальших розрахунках, то задаються більш високою надійністю – 0,98…0,99; коли необхідна надзвичайно висока ступінь надійності, то – 0,999.

Необхідна надійність вимірювань досягається вибором відповідного числа вимірювань (повторюваностей). При цьому передбачається, що систематична похибка такого способу вимірювань досить мала. Зменшення систематичної похибки досягається застосуванням більш точних приладів і збільшенням точності вимірювань.

Чим більше зроблено вимірювань, тим більша ймовірність того, що випадкова похибка виявиться щонайменшою. Коли задатися довірчою ймовірністю (надійністю) і довірчою границею, вираженою в долях статистичної середньої квадратичної похибки кожного вимірювання , тобто інтервалом , що дорівнює , то необхідне число вимірювань (повторювань) можна встановити за даними таблиці, складеної В.І. Романовським (табл.6.1).

Таблиця 6.1

Необхідне число вимірювань (повторюваностей)

	Число вимірювань
	Довірча ймовірність
	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999
3,0	1	2	3	4	5
2,0	2	3	4	5	7
1,0	4	5	7	11	17
0,5	9	13	18	31	50
0,4	12	19	27	46	74
0,3	20	32	46	78	127
0,2	43	70	99	171	277
0,1	266	273	387	668	1089

Для визначення проводяться пошукові досліди. Коли немає ніяких даних про точність і надійність проведення трудомістких і дорогих дослідів, а витрати на пошукові досліди великі, через що їх важко провести, то приймають потрійну повторюваність як мінімальну.