4. Обробка дослідних даних.

Після закінчення дослідів одержані результати треба опрацювати і узагальнити. Залежно від поставленого завдання це може проводитися різними методами. Якщо треба визначити дослідні залежності у вигляді таблиць або графіків, то необхідно їх побудувати. Визначається також достовірність дослідних даних, границі їх коливань. Експериментальні залежності можна також виразити емпіричним формулами, визначити статистичні характеристики і зв’язки, знайти умови оптимуму тощо. Усі методи починаються з визначення грубої помилки та знаходження середніх значень.

Дослідні дані після опрацювання узагальнюють і виявляють закономірності. Дослідник, порівнюючи отримані результати та вивчаючи матеріали дослідження, шукає зв’язки між явищами, вплив різних факторів, встановлює їх загальну закономірність. Правильно встановлені закономірності можуть бути відтворені.

При опрацюванні та узагальненні результатів дослідження треба бути дуже уважним і об’єктивним, якщо деякі залежності здаються неправильними, наприклад заперечують теоретичні положення. Змінювати чи відкидати виміри не можна, в таких випадках необхідно повторити досліди.

Вираз закономірностей за допомогою математики є найефективнішим методом через наочність, можливість визначення швидкості розвитку явища, максимуму та мінімуму величин. Математичні формули можна розподілити на теоретичні, емпіричні та формули, які займають між ними проміжне положення.

Теоретичними є формули, які встановлені в результаті теоретичних досліджень методом дедукції з використанням законів геометрії, фізики, механіки та інших наук і за певних припущень. Ці формули звичайно перевіряються експериментально, але є такі, у правильності яких вагань не виникає.

Емпіричні формули одержують, якщо можна математично описати будь-яку конкретну закономірність, отриману експериментально. Часто функцію не достатньо показати як таблицю або графік. У таких випадках підбирається аналітичний вираз, який приблизно зображує цю функцію.

Проміжне положення займають формули напівтеоретичні, або раціональні, й напівемпіричні, або ірраціональні.

Раціональні (напівтеоретичні) формули виражають лише суттєві відношення в явищі, яке вивчається. Вони виводяться при дослідженні дуже важливого явища і якщо не можна врахувати усі фактори. При цьому використовуються також закони фізики, механіки та інших наук і робляться певні допущення, але значення коефіцієнтів встановлюється чи уточнюється за дослідними даними.

Ірраціональними (напівемпіричними) називаються формули, які поверхово відображають суть явища. Це звичайно прості формули, вони лише в загальних рисах характеризують явище, що вивчається, і коефіцієнти в них встановлюються дослідним шляхом. Ці коефіцієнти непостійні, тобто змінюються в широких межах залежно від факторів, що впливають на функції.

Мінімально необхідна математична обробка дослідних даних полягає в одержанні показників, які характеризують їх достовірність і ступінь варіювання за повторюваностями. Після отримання середніх значень функції обчислюються показники: середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, довірчий інтервал з вибраною ймовірністю, похибка досліду. Ці показники характеризують достовірність і межі коливань (мінливість) дослідних даних.

Випадкові величини і статистичний розподіл оцінюються низкою числових характеристик: математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та ін.

Математичним сподіванням випадкової величини називається сума добутків усіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірність :

. (6.4)

Для статистичного розподілу аналогією математичного сподівання є середнє арифметичне або середнє статистичне випадкової величини, яке визначається:

, (6.5)

де – число вимірювань; – результат окремого вимірювання; – номер вимірювання.

За законом великих чисел при необмеженому збільшені числа дослідів статистичне середнє наближається до математичного сподівання й може бути приблизно прийнятим таким, що дорівнює йому.

Дисперсія перервної випадкової величини:

. (6.6)

Дисперсія неперервної випадкової величини:

, (6.7)

де – щільність розподілу неперервної випадкової величини, яка показує розподіл значень випадкової величини вздовж своєї осі залежно від їх ймовірності.

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини біля її математичного сподівання. Розмірність дисперсії – квадрат випадкової величини.

Для наочної характеристики розсіювання краще користуватися середнім квадратичним відхиленням або стандартом, що має таку саму розмірність, що і випадкова величина, та визначається наступним чином:

. (6.8)

Кожній описаній числовій характеристиці випадкової величини відповідає її статистична аналогія. Так, для статистичного розподілу повною мірою справедливі визначення дисперсії та середнього квадратичного відхилення, але в формули замість ймовірності підставляється частота , а замість математичного сподівання – середнє арифметичне .

Дисперсія статистичного розподілу називається ще статистичною, вибірковою або емпіричною дисперсією:

. (6.9)

Статистичне середнє квадратичне відхилення (стандарт) окремого вимірювання статистичного розподілу:

. (6.10)

Коли прокласифікувати статистичний матеріал на розряди і вважати наближено значення випадкової величини в кожному розряді постійним і таким, що дорівнює середньому значенню розряду, то після визначення частот статистичне середнє, дисперсія і середнє квадратичне відхилення (стандарт) будуть відповідно такими:

; (6.11)

; (6.12)

, (6.13)

де – середнє значення -го розряду; – число розрядів; – частота -го розряду; – кількість значень вимірюваної величини, що припадає на -й розряд (інтервал).

Для характеристики розсіювання (мінливості) статистичного розподілу застосовується також коефіцієнт варіації, що є відношенням середнього квадратичного відхилення до статистичного середнього. Цей коефіцієнт найчастіше виражається у відсотках:

. (6.14)

Існує багато законів розподілу випадкових величин: нормальний закон, рівномірний розподіл, розподіл Коші, розподіл Пуассона, розподіл Шарльє, біноміальний розподіл та ін. З них найчастіше зустрічається нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Нормальний закон розподілу характеризується щільністю ймовірності (рис.6.1), що виражається таким чином:

, (6.15)

де – середнє квадратичне відхилення; – математичне сподівання випадкової величини і одночасно абсциса точки, що відповідає максимальному значенню щільності ймовірності.

Рис.6.1. Розподіл випадкової величини за нормальним законом

Проведені досліди будуть точнішими, якщо меншими будуть середня квадратична похибка, коефіцієнт варіації, довірчі границі та похибка досліду. Якщо коефіцієнт варіації менший за 10%, то мінливість (коливання даних за повторюваностями) вважається незначною; якщо приймає значення від 10 до 20% – середньою; якщо більше за 20 % – значною. Похибка досліду вважається цілком задовільною, якщо вона менша за 5%, і допустимою, якщо вона перебуває в межах 5…8%. Похибка, що більша 8…10%, вказує на великий розкид одержаних даних і значне їх коливання.