14. Алгоритм проверки адекватности множественной регрессионной модели.

1шаг:

Деление выборки на две части: обучающую и контролирующую

· Обучающая выборка - 90÷95% наблюдений

· Контролирующая выборка - 5÷10% наблюдений

2шаг:

Настройка модели по обучающей выборке (оценка параметров МНК)

3шаг:

· Построение прогноза эндогенной переменной из контролирующей выборки

· Построение интервальной оценки эндогенной переменной из контролирующей выборки

4шаг:

Выполнение проверки.

Если неравенство верно, то модель адекватна, если не верно, то модель является неадекватной.

15. Гетероскедастичность случайного возмущения: определение, причины, последствия, количественные характеристики вектора случайных возмущений в условиях гетероскедастичности.

В соответствии со второй предпосылкой теоремы Гаусса-Маркова нужно соблюдение условия гомоскедастичности (одинаковый разброс), или однородности дисперсий случайных возмущений во всех наблюдениях. То есть независимость дисперсии возмущения от номера наблюдений является вторым условием Гаусса Маркова для классической регрессионной модели. Гетероскедастичность (неодинаковый разброс) является нарушением данного условия Гаусса-Маркова для классической регрессионной модели.

Гетероскедастичность – ситуация, когда дисперсия ошибки в уравнении регрессии изменяется от наблюдения к наблюдению. В этом случае приходится подвергать определенной модификации МНК (иначе возможны ошибочные выводы).

При наличии гетероскедастичности количественные характеристики вектора возмущений равны:

E {ε}=0,

С_εε =

г де , t = 1,…..,n - значения дисперсии возмущений.

Причины гетероскедастичности

- Неоднородность исследуемых объектов (напр, при анализе зависимости спроса от дохода потребителя выясняется, что чем больше доход, тем больше индивидуальное значение спроса колеблется относительно ожидаемого значения)

- Характер наблюдений (напр, данные временного ряда)

Последствия гетероскедастичности

Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений:

1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от МНК и более эффективные оценки.

2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки. Это, в свою очередь, может привести к некорректности результатов тестирования статистической значимости параметров линейной модели.

При наличии гетероскедастичности МНК (метод наименьших квадратов) обеспечивает несмещенные оценки параметров, но оценка дисперсии возмущений – смешенная, то есть:

Это приводит к неадекватным оценкам:

- Автоковариационной матрицы оценок параметров: С_ββ =s²(X^TX)^-1;

- Границ доверительных интервалов параметров модели и значений зависимой переменной, т.е. последствия такие же, как и от автокорреляции.

16. Автокорреляция случайного возмущения: определение, причины, последствия, количественные характеристики вектора случайных возмущений в условиях автокорреляции.

Автокорреляция случайного возмущения – невыполнение 3 предпосылки теоремы Гаусса-Маркова о независимости случайных переменных в уравнениях наблюдений (ковариация 2 случайных переменных = 0). Если же предпосылка выполняется, то идет речь об отсутствии автокорреляции.

Причины автокорреляции:

1. Ошибки спецификации моделей (пропуск важного регрессора, неправильный вид функции регрессии)

2. Ошибки измерения переменных модели

3. Некорректный характер наблюдений.

Если причиной автокорреляции является ошибка спецификации моделей, то такую автокорреляцию называют ложной.

Последствия автокорреляции случайных возмущений в регрессионной модели сводятся к тому, что стандартная ошибка оценок параметров моделей теряет свойство несмещенности. Ее значение, как правило, заниженное. Но оценки параметров остаются несмещенными, так как первая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова выполняется в силу МНК.

Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели.

К оценкам параметров предъявляются 2 основных свойства:

-несмещенности

-эффективности

Оценка параметра является несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает со значением параметра, то есть мат. ожидание остатков равно 0.(5.3)

Оценка параметра считается эффективной, если она имеет минимальную дисперсию. Выбирается та процедура оценки, которая дает минимальный разброс значений оценки.

Далеко не всегда удается подобрать процедуру, обеспечивающую получение несмещенных и эффективных оценок при небольшом объеме выборки. Поэтому вводится понятие асимптотически несмещенных и асимптотически эффективных оценок, для которых свойство несмещенности и эффективности достигается при неограниченном увеличении объема выборки. Однако такие оценки получаются не всегда. Нас будут удовлетворять оценки, обладающие свойством несмещенности при большом объеме выборки. Такие оценки называют состоятельными (несмещенные при большом объеме выборки).

17. Тест Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений. Большинство тестов на наличие корреляции по времени в ошибках системы используют следующую идею: если корреляция есть у ошибок ε, то она присутствует и в остатках е, получаемых после применения обычного МНК. Пусть нулевая гипотеза состоит в отсутствие корреляции, то есть   В качестве альтернативной может выступать либо просто H₁: ‹‹не H₀››, либо односторонняя гипотеза, например H₁: 

Широкое применение получил тест Дарбина-Уотсона. Тест основан на вычислении статистики DW:

Предпосылки теста: случайные возмущения распределены по нормальному закону и гомоскедастичны. Поскольку коэффициент корреляции принимает значения   то для значений статистики DW выполняется неравенство   Вычисленное значение статистики DW не сравнивается с ее критическим значение, так как его невозможно затабулировать в силу зависимости от значений регрессоров. Границы d_U и d_L выбираются из таблиц Дарбина-Уотсона по числу наблюдения n, числу регрессоров K и уровню значимости α.

Значение статистики DW	Вывод
	Гипотеза H0 отвергается, есть отрицательная корреляция
	Неопределенность
	Гипотеза H0 не отвергается
	Неопределенность
	Гипотеза H0 отвергается, есть положительная корреляция

Множество возможных значений статистики DW можно представить в виде следующих пяти интервалов на числовой оси:

Алгоритм реализации теста Дарбина –Уотсона можно представить в виде последовательности следующих действий:

Шаг 1. По результатам наблюдений за переменными объекта оценивается модель линейной регрессии.

Шаг 2. Для каждого уравнения наблюдения оценивается значение случайного возмущения.

Шаг 3. В соответствующей статистической таблице по значениям k (число регрессоров в модели) и n (объем выборки) находятся числа dL и du .

Шаг 4. Проверить на какой отрезок попало вычисленное значение статистики Дарбина-Уотсона.