Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных)

1. Понятие дифференциального уравнения. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах. Дать определения: обыкновенного дифференциального уравнения, общего решения, частного решения, особого решения, задачи Коши, интегральной кривой, поле направлений, фазовые кривые. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения (сведение к уравнению с разделяющимися переменными) уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель, приводящий уравнение к уравнению в полных дифференциалах (случай, когда интегрирующий множитель зависит от одной переменной).

2. Интегрирование уравнений первого порядка вида: линейное уравнение, уравнение Бернулли, уравнения Лагранжа и Клеро. Линейные уравнения первого порядка (общий вид, подстановка, которая приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными). Сведение уравнения Бернулли к линейному уравнению. Уравнения Лагранжа и Клеро (подстановка, используемая в уравнениях не разрешимых относительно производной). Существование особого решения для уравнения Клеро. Сведение уравнения Лагранжа к линейному уравнению.

3. Линейная зависимость функций и определитель Вронского; фундаментальные системы решений для линейных уравнений высшего порядка и общее решение линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами; формула Лиувилля – Остроградского. Определение базиса пространства решений. Теорема о пространстве решений однородного линейного уравнения с переменными коэффициентами (формулировка). Определение фундаментальной системы решений для линейного уравнения с переменными коэффициентами, определение общего решения. Теорема об определителе Вронского и линейной независимости решений (формулировка). Вывод формулы Остроградского – Лиувилля (связь определителя Вронского с коэффициентами линейного уравнения с переменными коэффициентами).

4. Неоднородные линейные уравнения с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Понятие неоднородного линейного дифференциального уравнения. Связь однородного и неоднородного линейного уравнения. Метод вариаций произвольных постоянных (вывод).

5. Решение однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами и неоднородностями специального вида (квазимногочлен). Дать определения: однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами; характеристического уравнения, неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами; квазомногочлена. Формулировка теорем для линейных уравнений с постоянными действительными коэффициентами: о фундаментальной системе решений в случае различных собственных значений характеристического уравнения, о системе решений, отвечающей кратному собственному значению, построение фундаментальной системы решений в случае комплексных корней. Построение решения неоднородного линейного уравнения с правой частью в виде квазимногочлена.

6. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Определение квазилинейного уравнения. Преобразование уравнения второго порядка путем введения новых переменных. Лемма о характеристиках. Связь дискриминанта характеристического уравнения и типа уравнения с частными производными второго порядка.

7. Метод Фурье на примере уравнения колебания струны. Первая краевая задача для однородного уравнения колебания струны. Граничная задача. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Аналитическое представление общего решения поставленной задачи.

8. Корректность постановки задач математической физики. Теорема единственности решения краевой задачи волнового уравнения. Определение корректно поставленной краевой задачи математической физики. Доказательство теоремы единственности решения краевой задачи для волнового уравнения.