Теория функций комплексного переменного

1. Дифференцируемость и голоморфность функции комплексного переменного. Дать понятие дифференцируемости функции в точке, на множестве, доказать теорему, содержащую критерий дифференцируемости; дать определение голоморфной (регулярной, аналитической функции).

2. Теорема Тейлора о разложении голоморфной функции. Доказать теорему Тейлора о разложении голоморфной функции в степенной ряд; показать, что этот степенной ряд есть ряд Тейлора.

3. Теорема Лорана о разложении голоморфной функции. Доказать теорему Лорана о разложении голоморфной функции в кольце; дать понятие ряда Лорана, множества его точек сходимости.

4. Интегральная теорема Коши для односвязной области. Доказать интегральную теорему Коши, опираясь на лемму Гурса (считать эту Лемму известной).

5. Интегральная формула Коши; бесконечная дифференцируемость голоморфной функции. Вывести интегральную формулу Коши, с помощью которой установить бесконечную дифференцируемость голоморфной функции.

Дифференциальная геометрия и топология

1. Линии в евклидовом пространстве. Определение линии. Различные уравнения. Гладкие линии. Репер Френе и формулы Френе. Кривизна и кручение линии в произвольной параметризации.

2. Поверхности в евклидовом пространстве. Определения поверхности. Различные уравнения. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Гауссовы координаты.

3. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Первая и вторая квадратичная форма поверхности, их практические приложения. Нормальная кривизна линии на поверхности. Индикатриса Дюпена. Главные кривизны поверхности, формулы. Гауссова и средняя кривизны поверхности, формулы.

4. Элементы общей топологии. Топологическое пространство, метрическое пространство, неп­рерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность. Определение гладкого многообразия, отображений многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем. Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к мно­гообразию, векторные поля на многообразии.

5. Тензорный анализ на многообразиях. Общее определение тензо­ра, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опус­кание индексов, оператор Ходиса, кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциаль­ных форм, внешняя алгебра, поведение тензоров при отображе­ниях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Ковариантная производная тензоров, параллельный перенос век­торных полей, геодезические; связности, согласованные с мет­рикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий. Элементы топологии многообразий: гомотопия, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия; степень отображения - определение степени, гомотопическая классификация отображений многообра­зия в сферу, степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности, теорема Гаусса-Бонне, индекс особой точки век­торного поля, теорема Пуанкаре-Бендиксона.