Вопросы к государственному экзамену

1. Критерий Коши для сходимости последовательности.

2. Замечательные пределы. Вывод второго замечательного предела.

3. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной. Доказательство теоремы Лагранжа.

4. Определение определенного интеграла по Риману. Геометрический смысл определенного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции.

5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

7. Признаки сходимости положительных рядов. Доказательство интегрального признака Коши.

8. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

9. Системы линейных уравнений над полем.

10. Определитель квадратной матрицы n-го порядка.

11. Матрицы над полем.

12. Основные алгебраические структуры.

13. Поле комплексных чисел.

14. Кольцо многочленов от одной переменной над полем.

15. Линейные пространства над полем.

16. Линейные отображения векторных пространств.

17. Линейные операторы векторного пространства. Пространство линейных операторов.

18. Евклидовы и унитарные пространства.

19. Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.

20. Билинейные и квадратичные формы.

21. Векторы и операции над ними.

22. Системы координат на плоскости и в пространстве.

23. Линии и их уравнения на плоскости.

24. Плоскость и прямая в пространстве.

25. Поверхности второго порядка.

26. Множества и отношения.

27. Элементы комбинаторики.

28. Основы теории графов.

29. Формулы алгебры высказываний.

30. Нормальные формы.

31. Булевы функции.

32. Исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория.

33. Логика предикатов.

34. Понятие дифференциального уравнения. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах.

35. Интегрирование уравнений первого порядка вида: линейное уравнение, уравнение Бернулли, уравнения Лагранжа и Клеро.

36. Линейная зависимость функций и определитель Вронского; фундаментальные системы решений для линейных уравнений высшего порядка и общее решение линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами; формула Лиувилля – Остроградского.

37. Неоднородные линейные уравнения с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянных.

38. Решение однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами и неоднородностями специального вида (квазимногочлен).

39. Классификация уравнений с частными производными второго порядка.

40. Метод Фурье на примере уравнения колебания струны.

41. Корректность постановки задач математической физики. Теорема единственности решения краевой задачи волнового уравнения.

42. Дифференцируемость и голоморфность функции комплексного переменного.

43. Теорема Тейлора о разложении голоморфной функции.

44. Теорема Лорана о разложении голоморфной функции.

45. Интегральная теорема Коши для односвязной области.

46. Интегральная формула Коши; бесконечная дифференцируемость голоморфной функции.

47. Линии в евклидовом пространстве.

48. Поверхности в евклидовом пространстве.

49. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.

50. Элементы общей топологии.

51. Тензорный анализ на многообразиях.

52. Случайные события. Основные теоремы теории вероятностей.

53. Последовательность независимых испытаний.

54. Числовые характеристики и законы распределения дискретной случайной величины.

55. Функция распределения и плотность распределения.

56. Числовые характеристики и законы распределения непрерывной случайной величины.

57. Многомерные случайные величины.

58. Линейные пространства. Пределы в метрическом пространстве и полнота метрических пространств.

59. Мера и интеграл Лебега. Измеримые множества и суммируемые функции. Интеграл Стилтьеса. Интегральные операторы.

60. Линейные нормированные пространства. Пространства Банаха.

61. Абстрактное Гильбертово пространство.

62. Линейные операторы. Линейные операторы в нормированных пространствах: ограниченность и непрерывность, норма оператора.

63. Линейные функционалы.

64. Сопряженные пространства и сопряженные операторы. Слабая сходимость.

65. Вполне непрерывные операторы. Операторные уравнения.

66. Нелинейные операторы. Дифференцирование нелинейных операторов. Уравнения с нелинейными операторами.

67. Простейшие задачи вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

68. Некоторые обобщения простейшей вариационной задачи.

69. Вариационные задачи на множестве функций нескольких аргументов. Понятие о вариационном принципе в вариационных моделях.

70. Задачи на условный экстремум.

71. Делимость в кольце Z и числовые сравнения.

72. Цепные дроби.

73. Линейные сравнения и неопределенные уравнения первой степени.

74. Первообразные корни и индексы.

75. Биологический и формальный нейрон: биологические основы функционирования нейрона; математическая модель нейрона Мак-Калока и Питса.

76. Типы и модели нейронов.

77. Методы обучения нейрона.

78. Методика решения задач в нейросетевом логическом базисе.

79. Нейронные сети радиально-базисных функций.

80. Вероятностная и обобщённо-регрессионная нейронные сети.

81. Нейронная сеть Кохонена.

82. Нейронная сеть Хопфилда.

83. Нейронная сеть Хэмминга.

84. Гибридные нейронные сети.

85. Информационные характеристики инфотелекоммуникационных систем.

86. Информационные характеристики источника сообщения.

87. Математические основы теории кодирования.

88. Линейные и циклические коды.

89. Принципы построения кодирующих и декодирующих устройств.

90. Коды, обнаруживающие ошибки.

91. Коды с повторением.

92. Обработка избыточных кодов в каналах со стиранием.

93. Математические модели традиционных симметричных криптосистем.

94. Генераторы псевдослучайных последовательностей чисел.

95. Линейные рекуррентные последовательности и линейные регистры сдвига.

96. Методы проверки чисел на простоту.

97. Задачи факторизации и дискретного логарифмирования.

98. Криптографические приложения задач дискретного логарифмирования и факторизации.

99. Схемы разделения секрета и их приложения.