Теория вероятностей

1. Случайные события. Основные теоремы теории вероятностей. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Определение вероятностного пространства, свойства. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Следствия теорем сложения и умножения. Полная вероятность. Формулы Байеса.

2. Последовательность независимых испытаний. Частная теорема о повторении опытов. Общая теорема о повторении опытов. Обобщенная схема Бернулли. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Простейший поток событий. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Простейший поток событий.

3. Числовые характеристики и законы распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание и ее свойства. Дисперсия. Свойства. Среднее квадратическое отклонение. Свойства. Биномиальный закон распределения. Геометрический закон распределения. Гипергеометрический закон распределения.

4. Функция распределения и плотность распределения. Определение функции распределения. Основные свойства функции распределения. График функции распределения. Определение плотности распределения. Основные свойства плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал.

5. Числовые характеристики и законы распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Мода и медиана. Равномерный закон распределения. Нормальный закон распределения, определение числовых характеристик, Нормальная кривая. Вероятность попадания в интервал. Правило трех сигм. Понятие о центральной предельной теореме. Начальный и центральный моменты. Асимметрия и эксцесс.

6. Многомерные случайные величины. Определение многомерной случайной величины. Двумерная случайная величина. Закон распределения. Условные законы распределения. Математическое ожидание системы двух случайных величин. Дисперсия. Начальный и центральный теоретические моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Функциональный анализ в вычислительной математике

1. Основные понятия и определения. Понятие топологического пространства. Элементы общей топологии. Функциональное пространство и оператор. Упорядоченные множества. Теорема Цермело. Аксиомы топологической структуры. Топология множества. Свойства замкнутых множеств. Метрика в пространстве. Аксиомы метрики. Метризуемость топологических пространств. Топологические свойства метрических пространств: внутренность, замыкание, граница. Свойства топологических пространств: связность, отделимость, компактность. Понятие непрерывного отображения.

2. Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Основные определения. Линейные топологические пространства. Линейные метрические пространства. Пределы в метрическом пространстве и полнота метрических пространств. Принцип сжимающих отображений.

3. Мера и интеграл Лебега. Измеримые множества и суммируемые функции. Интеграл Стилтьеса. Интегральные операторы. Общее понятие меры. Измеримые функции. Понятие сходимости почти всюду. Абстрактный интеграл Лебега. Мера и интеграл в Евклидовом пространстве. Интеграл Стилтьеса. Принцип сжимающих отображений в классе суммируемых (интегрируемых) функций. Существование и единственность решений интегральных уравнений (в примерах).

4. Линейные нормированные пространства. Пространства Банаха. Линейные нормированные пространства, основные определения. Компактные множества в линейных нормированных пространствах. Критерии компактности множеств в некоторых пространствах.

5. Абстрактное Гильбертово пространство. Основные понятия и определения теории Гильбертова пространства: скалярное произведение функций, норма, метрика. Пространство . Ортогональные системы в , коэффициенты и ряды Фурье. Гильбертово пространство: основные понятия, определения и примеры гильбертовых пространств.

6. Линейные операторы. Основные определения. Линейные непрерывные операторы. Пространство линейных операторов. Линейные операторы в нормированных пространствах: ограниченность и непрерывность, норма оператора. Определение нормы интегрального оператора с ядром непрерывным в . Обратные операторы. Теоремы об обратных операторах. Операторы, зависящие от параметра.

7. Линейные функционалы. Основные определения. Теорема Банаха-Хана. Общий вид линейных функционалов в функциональных пространствах.

8. Сопряженные пространства и сопряженные операторы. Слабая сходимость. Понятие сопряженного пространства. Сопряженные операторы. Свойства сопряженных операторов. Понятие и критерии слабой сходимости.

9. Вполне непрерывные операторы. Операторные уравнения. Основные определения. Теоремы о вполне непрерывных операторах. Линейные уравнения с вполне непрерывными операторами: вспомогательные леммы, условия разрешимости и альтернатива Фредгольма. Спектр вполне непрерывного оператора. Принцип неподвижной точки Шаудера. Пример применения принципа Шаудера к существованию решений обыкновенных дифференциальных уравнений, теорема Пеана.

10. Нелинейные операторы. Дифференцирование нелинейных операторов. Уравнения с нелинейными операторами. Дифференциал и производная Фреше: основные определения, основные теоремы. Задача о дифференцировании интегрального оператора. Производная Гато. Теорема о локальном обращении дифференцируемого отображения.