46. Представление сигналов в цифровом виде. Теорема отсчетов. Нормирование частоты.

Дискретизация — представление непрерывного по времени аналогового сигнала дискретным. Технически дискретизация реализуется с помощью амплитудно-импульсного модулятора, на один вход которого подается аналоговый сигнал, а на второй — импульсы дискретизации (дельта-импульсы).

В результате дискретизации непрерывный аналоговый сигнал заменяется на ряд очень коротких импульсов-отсчетов, амплитуды которых равны значениям аналогового сигнала в дискретные моменты времени.

Отсчеты, полученные в результате дискретизации, поступают на вход АЦП. Каждый отобранный импульс сравнивается с принятой шкалой дискретных уровней и округляется до ближайшего эталонного значения. Эта операция называется квантованием. Шкала дискретных уровней охватывает весь диапазон напряжений входного сигнала. Частоту дискретизации и число разрядов выбирают, исходя из требований, предъявляемых к воспроизводимому сигналу.

Если сигнал не имеет спектральных составляющих с частотами выше f_m, то он полностью определяется своими отсчетами в дискретные моменты времени через интервал отсчетов    или с частотой  отсчетов  . 

В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия:

• любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой  , где   — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;

• если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Частота Найквиста – такая частота сигнала, при которой он может быть однозначно восстановлен при дискретизации с частотой fд (fн=fд/2).

Согласно теореме Котельникова максимальная частота аналогового сигнала не должна превышать половины частоты дискретизации  этого сигнала, следовательно, в частотной области все дискретные сигналы целесообразно рассматривать только в области  , которая называется основной полосой частот или основным диапазоном частот. С учетом периодичности спектра дискретной последовательности относительно fд анализ фильтров производят на участке нормированных частот от 0 до п, или от 0 до 1. Это связано с тем, что АЧХ фильтра является симметричной относительно fд/2.

Введение нормированной частоты указывает на то, что в ЦОС важны не абсолютные значения частот сигнала и дискретизации, а их отношение.

47. Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье. Особенности спектра дискретного сигнала.

Для представления временных зависимостей (сигналов) в виде набора гармоник в общем случае используется прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ), а для обратного преобразования спектра во временную зависимость — обратное дискретное преобразование Фурье.

Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:

, где S(k) - спектр сигнала s(n), k – индекс ДПФ в частотной области, n – индекс входных отсчетов во временной области, N – количество отсчетов входной последовательности и количество частотных отсчетов ДПФ

Как и в непрерывном, так и в дискретном случаях, в выражениях для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент 1/N.

Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.

Спектр дискретного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного аналогового сигнала. Интервал по частоте между соседними копиями спектра равен частоте дискретизации fд=1/dt.

основные особенности спектра дискретного сигнала не связаны с конкретной формой сигнала и имеют общее значение:

1. Спектр дискретного сигнала периодический с периодом, равным частоте дискретизации.

2. В пределах половины частоты дискретизации спектр дискретного сигнала повторяет спектр исходного аналогового сигнала. Поэтому, если спектр аналогового сигнала укладывается в полосе частот, равной половине частоты дискретизации, то он без искажений повторяется с периодом, равным частоте дискретизации.

3. Аналоговый сигнал может быть восстановлен без искажений с помощью идеального фильтра низких частот, полоса пропускания которого равна половине частоты дискретизации.

4. Если ширина спектра аналогового сигнала больше половины частоты дискретизации, то сдвинутые на период копии спектра исходного сигнала перекрывают друг друга и поэтому даже идеальный фильтр нижних частот не поможет восстановить исходный сигнал из дискретного сигнала.

48. Z – преобразование. Свойства z – преобразования.

Последовательности отсчетов сигнала (Xk) ставится в соответствие функция комплексной переменной, определяемая как . Здесь z представляет собой непрерывную комплексную переменную, а X(z) называют двусторонним z-преобразованием, так как индекс k может принимать как отрицательные, так и положительные значения. В самом деле, для получения X(z) необходимо знать Xk для всех целых значений k.

Главный вывод заключается в следующем: при переходе от аналогового фильтра к дискретному, образ по Лапласу становится периодическим по мнимой оси, а количество нулей и полюсов фильтра бесконечным. Но при переходе в комплексную z – плоскость мы получаем снова конечное количество нулей и полюсов, и соответственно конечное количество коэффициентов дискретного фильтра. Поэтому z-преобразование можно считать аналогом преобразования Лапласа для дискретных фильтров.

Свойство 1. Линейность. Z-преобразование суммы двух последовательностей равно сумме z-преобразований этих сигналов. Действительно, пусть есть два дискретных сигнала   и  , . Найдем z-преобразование их суммы :

Свойство 2. Свойство задержки. Если z-преобразование последовательности S1(n) равно S1(z), то z-преобразование последовательности, задержанной на n0 тактов S(n-n0) будет иметь вид S1(z)*z^-n0. При задержке последовательности на n0 тактов необходимо умножить ее z-преобразование на z^-n0. Множитель z^-n0 является оператором задержки дискретной последовательности на n0 тактов. Тогда задержка на один отсчет соответствует  .

Свойство 3. Теорема о свертке. z-преобразование свертки сигналов равно произведению их z-образов. Свёртка — это математическая операция, применённая к двум функциям f и g, порождающая третью функцию, которая иногда может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных.