Раздел 4. Электромагнетизм Магнитное поле

 Закон Био-Савара-Лапласа: индукция , созданная элементом тока точке А (рис. 4.1):

, или .

Здесь – радиус-вектор точки, в которой нужно рассчитать индукцию поля (вектор проводится от элемента тока к точке); – угол между радиус-вектором и элементом тока ;  – магнитная проницаемость вещества; – магнитная постоянная; – вектор, равный по модулю элементу длины dl проводника и совпадающий по направлению с током; I – сила тока.

 Магнитная проницаемость среды μ показывает, во сколько раз индукция магнитного поля в среде больше индукции в вакууме:

.

 Напряжённость магнитного поля – это вспомогательная характеристика магнитного поля, описывающая только поле макротоков (токов проводимости), в отличие от индукции магнитного поля. Связь между индукцией и напряжённостью для однородной изотропной среды:

.

Для вакуума ( =1):

.

Д ля поля соленоида (тороида) с сердечником из ферромагнетика магнитную проницаемость следует определять, используя график зависимости В от Н для конкретного вида магнетика, а затем по формуле:

.

 Магнитный момент контура с током:

,

где I – сила тока в контуре, S – его площадь, – единичный вектор нормали к контуру (рис. 4.2). Если контур имеет N витков, то .

 Индукция магнитного поля В – отношение максимального вращающего момента М_max сил, действующих на контур, к магнитному моменту контура:

.

 Момент силы (механический вращающий момент), действующий на магнитный момент в магнитном поле с индукцией :

, или ,

где – угол между вектором магнитной индукции и магнитным моментом магнитной стрелки или витка с током (рис. 4.3).

 Принцип суперпозиции: если в данной точке пространства различные источники создают магнитные поля, магнитные индукции которых равны , …, , то результирующая индукция поля в этой точке равна:

.

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной индукции

,

где  – угол между векторами и .

В случае непрерывного проводника принцип суперпозиции выглядит так:

.

Здесь интеграл берётся по всему проводнику. Индукция, созданная непрерывным проводником с током, равна интегралу от элементарных индукций полей, созданных каждым элементом тока в отдельности.

 Закон Ампера. Сила Ампера, действующая на элемент тока , находящийся в магнитном поле :

, или .

Здесь – угол между направлением элемента тока и индукции поля . Направление силы Ампера можно найти по правилу левой руки (рис. 4.4) или в соответствии с правилами векторного произведения (правило буравчика).

 Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с током I бесконечной длины на расстоянии r от проводника:

,

г де – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды (для вакуума μ=1). Направление тока и магнитной индукции связаны правилом буравчика (рис. 4.5).

 Индукция магнитного поля в центре кругового витка с током I:

и направлена по правилу правого винта (рис. 4.6). Здесь R – радиус витка.

 Индукция магнитного поля на оси кругового витка радиусом R с током I на расстоянии h от центра витка:

.

 Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком прямого проводника (см. обозначения на рис. 4.7):

.

Вектор индукции перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам (правило правого винта). При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция:

.

 Индукция магнитного поля на оси соленоида в произвольной точке А (рис. 4.8):

,

г де – плотность намотки соленоида (число витков на единицу длины; N – полное число витков соленоида длиной l); углы α₁ и α₂ – см. рис. 4.8.

 Индукция на оси бесконечно длинного соленоида:

.

 Индукция магнитного поля тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями, на осевой линии тороида (рис. 4.9):

,

где I – сила тока в обмотке тороида; N – число её витков; l₁ и l₂ – длины первой и второй частей сердечника тороида по осевой линии; ₁ и ₂ – магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида; ₀ –магнитная постоянная.

 Индукция магнитного поля, созданного движущимся со скоростью зарядом q в точке с радиус-вектором (рис. 4.10):

; или .

 Сила взаимодействия двух параллельных бесконечных проводников с токами I₁ и I₂, находящимися на расстоянии r, рассчитанная на отрезок проводника длиной l:

.

 Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле

.

Здесь – угол между магнитным моментом контура с током и вектором магнитной индукции.

 Сила, действующая на рамку с током в неоднородном магнитном поле. Проекция силы на произвольную ось OX равна

,

где – быстрота изменения поля вдоль оси OX, – угол между магнитным моментом и магнитной индукцией . Если угол острый, магнитный диполь втягивается в область сильного поля, если тупой – выталкивается.

 Сила Лоренца (сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией ):

, или ,

где – угол, образованный вектором скорости движущейся частицы и вектором индукции магнитного поля.

 Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль замкнутого контура L – это интеграл по замкнутому контуру L:

, или ,

где – проекция вектора в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке, – угол между вектором и элементом контура.

 Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L:

, или .

Здесь – проекция вектора в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.

 Закон полного тока (теорема о циркуляции): циркуляция вектора магнитной индукции для поля в вакууме по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром, умноженной на магнитную постоянную :

.

Для индукции поля в магнетике:

.

Суммирование производится по всем токам, охваченным контуром: и макротокам (токам проводимости), и микротокам. Циркуляцию вектора магнитной индукции также можно записать через сумму только токов проводимости:

.

Здесь  – магнитная проницаемость магнетика; n – число макротоков; k – число микротоков.

 Циркуляция напряжённости магнитного поля определяется только токами проводимости (макротоками), охваченными контуром:

.

 Магнитный поток (поток вектора магнитной индукции ) через плоскую поверхность площадью S в случае однородного поля:

, или ,

где – угол между вектором и нормалью к поверхности (рис. 4.11); – проекция вектора на нормаль ( ). В случае неоднородного поля:

; ,

причём интегрирование ведётся во всей поверхности S.

 Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

dA=I∙dФ, или A=I∙Ф,

где Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I – сила тока в контуре.

 Потокосцепление, то есть полный магнитный поток, сцепленный со всеми N витками соленоида или тороида:

,

где – магнитный поток через один виток.

 Закон Фарадея (закон электромагнитной индукции): ЭДС индукции в замкнутом контуре равна по величине и противоположна по знаку скорости изменения полного магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

, точнее, .

Если контур содержит N витков, то

, или ,

где – полное потокосцепление.

Среднее значение ЭДС индукции:

(один виток); (N витков).

 Частные случаи применения закона Фарадея:

а ) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью  в однородном магнитном поле индукцией B (рис. 4.12):

U=B∙l∙∙sin,

где  – угол между направлениями векторов скорости и магнитной индукции ;

б) электродвижущая сила индукции , возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле с индукцией В:

,

где – мгновенное значение угла между вектором и вектором нормали к плоскости рамки.

 Индуктивность контура L численно равна магнитному потоку Ф, пронизывающему контур, при единичной силе тока в контуре:

.

Для катушки (соленоида, тороида) с N витками

,

где – полное потокосцепление.

 Индуктивность соленоида (тороида):

, или ,

где N – число витков, l – длина соленоида, S – площадь сечения соленоида, – его объём, – плотность намотки соленоида.

 ЭДС самоиндукции , возникающая в катушке с индуктивностью L, при изменении силы тока в ней:

.

Среднее значение ЭДС самоиндукции .

 Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника в замкнутом контуре при возникновении в нём индукционного тока при изменения магнитного потока:

где R – сопротивление контура; – изменение потокосцепления.

 Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре:

, или , или .

Здесь I – сила тока в контуре, L – его индуктивность, – полное потокосцепление, N – число витков. В случае :

.

 Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объёма; ):

, или , или ,

где – напряжённость магнитного поля, – магнитная индукция,  – магнитная проницаемость; – магнитная постоянная.