Динамика материальной точки

 Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки):

, или ,

где – равнодействующая всех N сил, приложенных к телу (векторная сумма всех сил), m – его масса, – его ускорение.

 Второй закон Ньютона в импульсной форме:

,

где – импульс тела (материальной точки), – его скорость.

Если сила , действующая на тело, постоянна, то

,

где – промежуток времени, в течение которого действовала сила ; – изменение импульса тела.

 Второй закон Ньютона в проекциях:

; ; ,

или

; ; ,

г де под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

 Третий закон Ньютона (рис. 1.7):

.

 Закон всемирного тяготения (сила гравитационного притяжения):

,

где – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними.

 Сила тяжести

,

где – ускорение свободного падения, M – масса Земли, R – радиус Земли, h – высота тела массой m над Землёй.

 Вес тела – сила, приложенная к подставке или подвесу (рис. 1.8). Вес тела, движущегося с ускорением , равен

,

где m – масса тела. Если ускорение тела направлено вертикально вверх, то вес ; а если вертикально вниз, то .

 Сила трения скольжения (рис. 1.9):

,

где – коэффициент трения, N – сила нормального давления.

 Сила трения покоя:

.

 Сила упругости (закон Гука):

,

где k – коэффициент упругости (жесткость пружины), – абсолютная деформация (рис. 1.10).

 Радиус-вектор и координаты центра масс системы материальных точек:

;

, , ,

где – масса i-той материальной точки; , , , – её радиус-вектор и координаты; – масса всей системы; N число точек.

 Плотность тела:

.

 Уравнение движения центра масс:

,

где – ускорение центра масс; – сумма всех внешних сил, приложенных к системе.

 Закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то полный импульс системы сохраняется.

Если , то ,

или , или .

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

 Работа, совершаемая постоянной силой :

, или ,

г де – перемещение, – угол между направлениями векторов силы и перемещения (рис. 1.11):

 Работа, совершаемая переменной силой :

,

где интегрирование производится вдоль траектории (рис. 1.12).

 Средняя мощность за интервал времени :

.

 Мгновенная мощность:

, или ,

где – работа, совершаемая за промежуток времени , – скорость тела, – угол между скоростью и силой.

 Коэффициент полезного действия

.

 Закон изменения полной энергии для незамкнутой системы:

, или W_полн.1=W_полн.2+А_{системы против внешних сил}

 Закон изменения механической энергии для незамкнутой системы:

W_мех.1=W_мех.2+А_{системы против внешних сил}+А_{системы против диссипативных сил}

 Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

, или .

 Потенциальная энергия тела и консервативная сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением:

, или .

В проекциях: , , .

Здесь , и – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

.

 Закон сохранения полной энергии:

Если , то .

Здесь и – полная энергия системы; сумма всех видов энергии для начального и конечного состояния системы соответственно.

 Закон сохранения механической энергии (выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы):

Если и отсутствуют диссипативные силы, то W_мех.1=W_мех.2 .

Здесь и – полная механическая энергия системы; сумма всех видов потенциальной и кинетической энергии для начального и конечного состояния системы соответственно ( ).

 Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

,

где k – жёсткость пружины, – абсолютная деформация.

 Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

,

где r – расстояние между двумя точечными массами m₁, и m₂, – гравитационная постоянная.

 Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести:

,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой, g – ускорение свободного падения. Эта формула справедлива при условии , где R – радиус Земли.