Раздел 1. Физические основы механики Кинематика
Радиус-вектор
материальной точки
задаёт её положение в пространстве
(рис. 1.1):
,
г
де
x,
y
и
z
– координаты точки;
–
единичные векторы (орты), направленные
вдоль осей OX,
OY
и
OZ
соответственно.
Модуль вектора
:
.
Кинематическое уравнение движения:
;
или в координатной форме:
где t – время.
Перемещение
материальной точки –
вектор, соединяющий начальное (M0)
и конечное
(M)
её положение (рис.1.2). Перемещение равно
,
г
де
и
– радиус-векторы начального и конечного
положений точки соответственно.
Путь
– длина траектории (рис.1.2).
Средняя скорость:
,
где
– перемещение
материальной точки за интервал времени
.
Средняя путевая скорость (средняя скорость вдоль траектории):
где – путь (длина траектории), пройденный точкой за интервал времени .
Мгновенная скорость:
;
,
где
,
,
– проекции скорости
на оси координат.
Модуль скорости:
.
Закон сложения скоростей:
,
где
– абсолютная,
– переносная,
– относительная скорости.
Ускорение:
Среднее ускорение – изменение скорости за единицу времени:
,
где
– изменение скорости, произошедшее за
промежуток времени
.
Мгновенное ускорение – быстрота изменения скорости во времени; производная скорости по времени:
;
,
где
,
,
– проекции ускорения
на оси координат.
Модуль
ускорения:
.
При равномерном
движении
и
.
Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки:
,
или вдоль оси OX:
,
где
и
–
радиус-вектор и координата начального
положения точки соответственно;
и
–
скорость
тела и её проекция на ось OX;
t
– время.
При
равнопеременном движении
.
Скорость точки при равнопеременном движении:
,
или в проекции на ось OX:
.
где
и
–
ускорение
и его проекция на ось OX,
и
–
начальная
скорость и её проекция на ось OX.
Кинематическое уравнение равнопеременного движения:
,
или вдоль оси OX:
.
Ускорение
при криволинейном движении
можно
представить как сумму нормальной
и тангенциальной
составляющих (рис.1.3):
;
.
Нормальное ускорение
и направлено к центру кривизны траектории перпендикулярно ей. Здесь R – радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение показывает быстроту изменения скорости по направлению.
Тангенциальное (касательное) ускорение
и направлено по касательной к траектории. Оно показывает быстроту изменения скорости по величине. Касательное ускорение направлено так же, как и скорость, если она возрастает по модулю (тело ускоряется, рис. 1.4); в случае торможения тела касательное ускорение направлено противоположно скорости (рис. 1.5).
Положение
твердого тела
(при заданной оси вращения) определяется
углом поворота
(или угловым
перемещением
,
рис. 1.6).
Кинематическое уравнение вращательного движения:
.
Средняя угловая скорость:
,
где
– угол
поворота за интервал времени
.
Мгновенная
угловая скорость:
.
Угловое ускорение:
;
или
.
Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения (рис. 1.6).
Связь между угловыми и линейными величинами
– угол поворота φ и путь S, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R:
;
– угловая скорость
и линейная скорость
:
,
;
– угловое ускорение
и тангенциальное (касательное) ускорение
:
,
;
– нормальное
ускорение
,
угловая скорость
и линейная скорость
:
,
.
При равномерном
вращении
,
.
Кинематическое уравнение равномерного вращения:
,
где
– начальная угловая координата;
t
–
время.
Частота вращения:
,
где
N
– число
оборотов, совершаемых телом за время t
(
);
Т
– период
вращения (время одного полного оборота).
Связь угловой скорости с периодом и частотой:
.
При
равнопеременном вращательном движении
.
Угловая скорость при равнопеременном вращении:
,
где
– начальная угловая координата;
– начальная угловая скорость, t
–
время, ε –
угловое ускорение.
Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( ):
.