Динамика вращательного движения

 Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения (рис. 1.13):

,

где – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

 Момент силы относительно точки:

,

,

где – радиус-вектор точки приложения силы, – угол между и (рис. 1.14).

 Момент инерции материальной точки относительно оси вращения:

,

где т – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения;

 Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения (или твёрдого тела, которое можно представить как систему дискретных материальных точек):

,

где – масса i-той точки; – её расстояние до оси вращения, N – число точек в системе.

 Момент инерции твёрдого тела с непрерывно распределённой массой:

.

Если тело однородно, то есть его плотность одинакова по всему объёму, то , и

,

где V – объём тела.

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределённой по ободу	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Толстостенная трубка, круглый однородный полый диск (цилиндр) массой т с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой т и радиусом R	Проходит через центр шара

 Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен:

,

где – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; – расстояние между осями; m – масса тела (рис. 1.15).

 Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

,

где – момент инерции тела, – его угловая скорость.

 Закон сохранения момента импульса. Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется:

Если , то ,

или ,

где L_i – момент импульса i-го тела, входящего в состав системы, N – число тел в системе. Для двух взаимодействующих тел замкнутой системы:

где , , и – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: , , и – те же величины после взаимодействия.

 Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется:

,

где и – начальный и конечный моменты инерции; и – начальная и конечная угловые скорости тела.

 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (второй закон Ньютона для вращательного движения): угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела:

.

 Второй закон Ньютона для вращательного движения в импульсной форме (закон изменения момента импульса тела): изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил:

, или .

Если момент сил, действующих на тело, постоянен, то

, или ,

где (или ) – промежуток времени, в течение которого действовал момент сил ; – момент инерции тела, – его угловая скорость.

 Работа момента силы при вращательном движении:

, .

Если момент сил постоянен ( ), то работа равна

.

Здесь (или ) – угол поворота.

 Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:

.

 Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

 Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; – скорость центра масс тела; – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.