§ 9. Вычисление неопределенного интеграла методами непосредственного интегрирования и с помощью замены переменной

Цель: формирование умения применять формулы интегрирования и свойства неопределенного интеграла при вычислении неопределенного интеграла методами непосредственного интегрирования и с помощью замены переменной.

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач Неопределенный интеграл

Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал.

Определение 1. Дифференциал функции равен произведению производной данной функции на дифференциал ее аргумента:

Например, если , то , тогда дифференциал функции .

Определение 2. Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находит­ся сама функция.

Например, если , то , так как .

Дифференцируемая функция F(x), где x , называется первообразной для функции на интервале , если F' {х) = для каждого .

Так, для функции первообразной служит функция F(x)= , т.к. .

Определение 3. Совокупность всех первообразных функций f(х) на интервале (а;b) на­зывают неопределенным интегралом от функции f(х) на этом интервале и пишут:

Здесь - подынтегральное выражение; f(x) - подынтегральная функция; х — переменная интегрирования; С - произвольная постоянная интегрирования.

Например, , так как .

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному вы­ражению: = f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е. = F(x) + C

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интег­рала:

.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

Основные формулы интегрирования (Табличные интегралы).

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11.

Примеры вычисления неопределенных интегралов:

; 2) ; 3)

Решение: Применяем свойства (3) и (4) неопределенного интеграла, а затем табличные интегралы (2) и(1):

=

=

4)

5)

6)

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример 1. Найти

Решение: Произведем подстановку ; тогда , . Далее получаем:

=

= .

Пример 2. Найти .

Решение: Сначала положим ; тогда , откуда . Далее, получаем

= = = .

Пример 3. Найти .

Решение: Положим ; тогда , откуда . Далее, получаем

= .

Вопросы и упражнения для самопроверки:

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Найдите интегралы: а) б) ; в) ; г) .