§ 7. Исследование функций с помощью производной на монотонность и экстремум, выпуклость графика и точки перегиба.

Цель: формирование умения применять производную к исследованию функций.

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач Приложения производной к исследованию функций

Условие возрастания и убывания функции. Дифференцируемая функция возрастает на интервале , если ее производная положительна в каждой точке этого интервала (рисунок 10).

Дифференцируемая функция убывает на интервале , если ее производная отрицательна в каждой точке этого интервала (рисунок 11).

Рисунок 10

Рисунок 11

Экстремумы функции. Функция имеет максимум в точке , если для любого в некоторой окрестности точки верно неравенство - точка максимума; - максимум функции.

Функция имеет минимум в точке , если для любого в некоторой окрестности точки верно неравенство

- точка минимума; - минимум функции.

Т очка максимума - вершина, пик графика функции. В окрестности точки максимума идет смена возрастания и убывания

(на рисунке 12: х₂, х₄ - точки максимума).

Точка минимума – ущелья, углубления, впадины графика функции.

В окрестности точки минимума убывание

функции сменяется ее возрастанием

Рисунок 12

(на рисунке 12: х₁, х₃ – точки минимума).

Точки максимума или минимума называются точками локального экстремума (или просто экстремума). Экстремум - значение функции в этих точках.

Латинское слово «экстремум» в переводе на русский язык означает «крайний».

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода функции, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная обращается в нуль ( ) или терпит разрыв.

Достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе слева направо через критическую точку I рода первая производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум - когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.

Правило нахождения экстремумов функции и интервалов ее возрастания и убывания с помощью первой производной

1. Найти производную функции .

2. Решить уравнение и найти критические точки I рода.

3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором от промежутка, в котором и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой знак производной не меняется, то в точке функция экстремума не имеет.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума:

Направление вогнутости и точки перегиба кривой

Кривая называется выпуклой вверх или выпуклой в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Кривая называется выпуклой вниз или вогнутой в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Т очкой перегиба непрерывной кривой называется точка А,

при переходе через которую кривая меняет свою выпуклость на вогнутость или наоборот (рисунок 13).

Д

Рисунок 13

остаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой. Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке то кривая выпукла в этом промежутке; если же то кривая вогнута в этом промежутке.

Точки, в которых или не существует, называются критическими точками II рода.

Правило нахождения направления вогнутости и точек перегиба графика функции :

1. Найти вторую производную функции .

2. Решить уравнение и найти критические точки II рода.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если в соседних промежутках, разделенных критической точкой знак второй производной меняется, то является абсциссой точки перегиба.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба:

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы направление вогнутости и точки перегиба кривой. Построить ее примерный график.

Решение.

I этап. Проведем исследование функции на монотонность и экстремумы:

1. Находим производную: Итак,

2. Решаем уравнение

и

- критические точки I рода.

3.Отмечаем эти критические точки на числовой прямой и исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов: (рисунок 14).

функция возрастает ( );

функция убывает ( );

функция возрастает ( ).

min

max

+

+

-

Рисунок 14

0

2

Точка точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус. Точка точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс.

4. Вычисляем экстремумы функции в точках :

.

II этап. Определим направление вогнутости и точки перегиба кривой .

1. Находим вторую производную:

2. Решаем уравнение - критическая точка II рода.

3.Отметим критическую точку II рода на числовой прямой (рисунок 15).

Точка перегиба

+

-

Рисунок 15

1

Исследуем знак второй производной в каждом из полученных интервалов:

Т ак в промежутке имеем - кривая выпукла; а в промежутке имеем - кривая вогнута. Следовательно, - абсцисса точка перегиба.

4 . Вычисляем ординату этой точки:

.

И так, - точка перегиба.

П римерный график функции изображен на рисунке 16.

Рисунок 16

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите производную функции:

а) б)

в) г)

2. Дана функция: . Найдите критические точки 1 рода.

а) ; б) ; в) ; г)

3. Исследовать на монотонность, экстремумы, выпуклость и точку перегиба следующие функции. Построить примерные графики функций.