§ 8. Исследование функций на асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Цель: формирование умения применять теорию пределов к исследованию функций на асимптоты, проводить полную схему исследования функции и строить ее график.

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач Асимптоты кривой

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают наклонные, горизонтальные и вертикальные асимптоты.

1. Уравнение наклонной асимптотой имеет вид , где

(1), (2).

По формулам (1), (2) вычисляются угловой коэффициент k и начальная

ордината b асимптоты при .

2) Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид

( если параметр =0).

3. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид , если

или .

Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х,

вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю.

При этом точка есть точка разрыва II рода.

Пример 1: Найти асимптоты кривой .

Решение.1) Проведем исследование функции на наклонную асимптоту :

Находим

- наклонной асимптоты нет.

2) .

Итак, прямая является горизонтальной асимптотой данной функции.

3) Исследуем функцию на вертикальную асимптоту при : Так как , , то прямая - вертикальная асимптота графика (рисунок 17).

Рисунок 17.

Рисунок 9.

Рисунок 18.

Пример 2. Найти асимптоты кривой .

Решение.1) Проведем исследование функции на наклонную асимптоту :

.

.

Итак, прямая является наклонной асимптотой данной функции.

2) Так как , то горизонтальной асимптоты нет.

3) Исследуем функцию на вертикальную асимптоту при : Так как ,

, то прямая является вертикальной асимптотой.

Таким образом, данная функция имеет наклонную асимптоту и вертикальную асимптоту (рисунок 18).

Общая схема исследования функций и построение графиков

1. Находим область определения функции, выясняем, где она непрерывна, определяем точки бесконечного разрыва функции и вертикальные асимптоты (если - точка бесконечного разрыва функции, то прямая - вертикальная асимптота графика).

2. Выясняем, является ли функция четной нечетной или это функция общего вида.

3. Находим точки пересечения функции с координатными осями (если это не вызывает затруднений).

4. Исследуем функцию на асимптоты.

5. С помощью первой производной находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

6. С помощью второй производной находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

7. Строим график, используя полученные результаты исследования. В случае необходимости, вычисляем еще значения функции в одной-двух точках области определения.

Замечание: Если в ходе исследования были обнаружены асимптоты, то построение графика следует начинать именно с асимптот, затем отметить точки максимума, минимума и точки перегиба (если таковые имеются).

Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, поэтому область определения все действительные числа.

2. Функция является нечетной, так как и установлена зависимость Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

3. Определяем точки пересечения функции с координатными осями:

а) с осью ОХ: ;

б) с осью ОУ: .

Получены три общие точки графика с осями координат:

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. С помощью первой производной находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

4. Вычисляем производную . Производная определена на всей оси, поэтому «подозрительными» на экстремум будут только точки, в которых

5.2 Решаем уравнение

и . Получаем три точки.

Выписывая их в порядке возрастания, имеем: , ,

5.3 Все дальнейшие рассуждения оформим в виде таблицы:

Таблица2

	(−∞; − 1)	− 1	(− 1; 0)	0	( 0; 1)	1	(1;+ ∞)
	+	0	−	0	−	0	+
		2		0		-2
характер критических точек I рода		max		нет экстремума		min

Определим знак производной в каждом из интервалов. Например, вычислив значение производной в одной точке (произвольной) каждого интервала:

,

, .

Расставляем знаки производной в таблице. Если производная , то функция возрастает (мы показываем это стрелочкой, направленной вверх). Если производная , то функция убывает (стрелочку направляем вниз).

Теперь становится ясным, что - точка максимума, - точка минимума, а в точке экстремума нет (как убывала функция до этой точки, так и убывает после нее).

4. Максимальное значение функции находим, вычислив его

в точке .

Аналогично . Итак, max (-1; 2) , min (1; -2).

6. С помощью второй производной находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

1. Вычисляем вторую производную .

Вторая производная определена на всей оси, поэтому «подозрительными» на перегиб будут только точки, в которых

6.2 Решаем уравнение

и

Получаем три точки. Выписывая их в порядке возрастания, имеем: , ,

6.3 Все дальнейшие рассуждения оформим в виде таблицы:

Таблица 3

	(−∞; − 0,7)	− 0,7	(− 0,7; 0)	0	( 0; 0,7)	0,7	(0,7;+ ∞)
	−	0	+	0	−	0	+
		1,2		0		-1,2
характер точек перегиба		точка перегиба		точка перегиба		точка перегиба

Определим знак второй производной в каждом из интервалов. Например, вычисляем значение второй производной в одной точке (произвольной) каждого интервала:

, , ,

.

Расставляем знаки производной в таблице. Если вторая производная , то функция выпукла в этом интервале, а если , то функция вогнута. Так как в каждой из трех точек , ,

производная меняет знак, то функция имеет три точки перегиба. Характер перегиба показан в нижней строке таблицы.

6.4 Ординаты точек перегиба находим, подставляя значения , , в саму функцию: ;

;

;

Итак, (-0,7; 1,2), (0; 0), (0,7; -1,2) – точки перегиба графика функции.

7.Строим график функции (рисунок 19).

Рисунок 19.

Пример 4.Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точки В этой точке функция терпит бесконечный разрыв. Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика.

Область определения функции

2. .

Так как то функция не является четной;

так как то функция не является нечетной. Значит она общего вида.

3. Определяем точки пересечения функции с координатными осями:

а) с осью ОХ:

б) с осью ОУ: .

Получена одна общая точка графика с осями координат:

4. Очевидно, что график функции имеет асимптоты.

4.1 Проведем исследование функции на наклонную асимптоту :

.

Итак, прямая является наклонной асимптотой данной функции.

2) Так как , то горизонтальной асимптоты нет.

3) Исследуем функцию на вертикальную асимптоту при : Так как ,

, то прямая является вертикальной асимптотой.Таким образом, данная функция имеет наклонную асимптоту и вертикальную асимптоту

5. С помощью первой производной находим интервалы монотонности функции и точки экстремума.

1. Вычисляем производную .

Обратите внимание на технику преобразований: надо по возможности выносить общие множители за скобки, а не раскрывать все скобки сразу.

5.2 Приравнивая получаем критические точки , ,

5.3 Учитывая еще точку разрыва функции разбиваем числовую ось на интервалы знакопостоянства производной:

Выбирая по одной точке в каждом интервале, определяем знаки первой производной:

Составляем таблицу для определения интервалов монотонности функции и ее экстремумов:

Таблица 4

	(−∞; 0)	0	(0; 1)	1	( 1; 3)	3	(3;+ ∞)
	+	0	+	не существ.	−	0	+
		0		не существ.
характер критических точек I рода		нет экстр.		разрыв		min

5.4 Вычисляем значения функции в точке : Итак, функция имеет минимум: min В других точках экстремумов нет.

6. С помощью второй производной находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

6.1 Первая производная . Вычисляем вторую производную:

Вторая производная определена на всей оси, кроме точки , поэтому «подозрительными» на перегиб будут только точки, в которых

6.2 Решаем уравнение - точка, «подозрительная» на перегиб.

6.3 Учитывая снова точку разрыва , составим таблицу для определения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика:

Таблица 5

	(−∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1;+ ∞)
	−	0	+	0	+
		0		0
характер точек перегиба		точка перегиба		разрыв

Вычисляем значение второй производной в одной точке (произвольной) каждого интервала:

, ,

6.4 Находим ординату точки перегиба:

Итак, (0; 0) – точка перегиба графика функции.

7.Завершая исследование функции, подсчитаем еще две дополнительные точки

Строим график функции (рисунок 20).

Рисунок 11.

Рисунок 20.

Задания для самостоятельного решения

1-5. Найти асимптоты графика функции:

6-10. Исследовать и построить графики функций: