Теория вероятностей

Случай повсюду. Случай властелин успехов, неудач, событий. В природе и технике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности.

Теория вероятностей - это наука, изучающая закономерности в случайных событиях. Отправной пункт - азартные игры («азар» - трудный). Впервые «Основы теории вероятностей» изложены французским математиком Пьером Лапласом (1749-1827 г.г.).

Области применения вероятностно-статистических методов: физика, химия, геодезия, теория измерений, медицина, биология, космонавтика, психология, лингвистика, строительство, экономика.

Новые науки, отделившиеся от теории вероятностей: теория информации, теория надежности, статистический контроль качества, планирование эксперимента, теория распределения.

Машиностроители применяют теорию надежности Б.В.Гнеденко.

Металловеды – теорию прочности В.М.Френкеля.

Под событием понимаем всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или не происходит. Всякое событие всегда рассматривается в связи с определенной совокупностью условий, созданных человеком или сложившихся в природе.

Основные понятия теории вероятностей - испытания и исходы. Каждое

испытание (опыт) приводит к какому-нибудь исходу.

Например:

Испытания	События
Выстрел по цели	Попадание или промах.
Подбрасывание игральной кости	Выпадение одного, двух…или шести очков.
Подбрасывание монеты	Выпадение герба или цифры
Исправность элементов (узла, прибора)	Исправен или неисправен.
Соответствие стандарту (параметру)	Соответствует или не соответствует.

Случайным событием называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти (например, выигрыш на лотерейный билет).

Слово «случайное» для краткости обычно «пропускают» и говорят просто «событие». События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Достоверным (обозначается U) называется событие, которое в результате данного испытания непременно произойдёт; (например, появление белого шара при извлечении из корзины, содержащей только белые шары).

Невозможным (обозначается V) называется событие, которое в результате данного испытания заведомо не произойдёт; (например, появление 7 очков при однократном подбрасывании игральной кости).

Равновозможными называются такие события, когда ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое; (например, при бросании игральной кости выпадение одного, двух, трёх или четырёх, пяти, шести очков).

Несовместными называются события, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании; (например, играется шахматная партия (испытание); выигрыш, проигрыш – одно из несовместимых событий).

Совместными называются события, если появление одного из них не исключает появление другого; (например, при одновременной стрельбе из двух пистолетов по мишеням попадание или промах одного из стрелков не влияет на попадание или промах другого).

Полную группу образуют несколько событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Например, для предыдущего случая: 1)одновременное попадание двух стрелков;

2)попадание одного из них; 3)промах обоих стрелков - полная группа событий.

Противоположным событием Ā (читается «не А»), называется событие, которое заключается в том, что событие А не произошло.

События А и Ā всегда образуют полную группу событий.

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается P_B(A) или Р(А/В).

События А, В, С,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов испытания, благоприятствующих этому событию, к общему числу возможных исходов n, если они равновозможные, единственно возможные и несовместные:

1. для достоверного события;

2. для невозможного события.

Пример 1: Какова вероятность выпадения грани с четным числом очков при бросании игральной кости?

Решение: Пусть событие А состоит в появлении четного числа очков. 1,2,3,4,5,6 - число граней игральной кости в форме куба. .

Пример 2: Какова вероятность того, что при раскладывании в ряд наугад вынимаемых из ящика карточек с буквами А, В, К, М, О, С получается слово МОСКВА (событие D)?

Решение: - число возможных перестановок;

Пример 3: В корзине имеются 4 красных, 5 желтых и 10 зеленых шаров, одинаковых по размерам и весу. Какова вероятность, что вынутый наудачу шар окажется зеленым (событие С)?

Решение: .