Упражнения для самопроверки
Дайте определение определенного интеграла, перечислите его основные свойства.
В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
По каким формулам находится: а) объем тела вращения; бВычислите определенные интегралы: а)
б)
;
в)
.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
,
;
б)
и
.
Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:
,
,
,
.
Выполните чертеж.Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями:
,
,
,
.
Выполните чертеж.
§ 11. Физические приложения определенного интеграла
Цель: формирование умения вычислять путь, пройденный точкой, работу силы по растяжению пружины, силу давления жидкости
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
К понятию определённого интеграла приводят самые разнообразные задачи: определение площади плоской фигуры, объема тела вращения, отыскание работы переменной силы, нахождение пути по заданной переменной скорости и многие другие.
Путь, пройденный
точкой. Если
точка движется прямолинейно и ее скорость
есть известная функция времени
,
то путь, пройденный точкой за промежуток
времени
,
вычисляется по
формуле:
(5)
Задача 5.
Материальная точка движется
прямолинейно со скоростью
.
Вычислить путь, пройденный точкой за
первые 10 с.
Решение. Применяя формулу (5), заходим искомый путь:
(м).
Ответ:
Работа силы.
Если переменная сила F=F(x)
действует
в направлении оси Ох,
то работа
силы на отрезке
вычисляется
по формуле:
(6).
Задача 6. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину, на 0,06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0,01 м?
Решение.
Согласно закону Гука сила F,
растягивающая
пли сжимающая пружину на
м,
равна
,
где к
- коэффициент пропорциональности.
Из условия следует
,
т. е. к =
100, и, следовательно, F=
100
.
Искомую работу находим по формуле (6):
=
(Дж).
Ответ:
Задача 7. Сила 196,2 Н растягивает пружину на 18 см. Какую работу она производит?
Решение. Переведем
сантиметры в метры:
По закону
Гука
,
откуда
.
Значит,
.
Находим искомую
работу:
=
(Дж).
Ответ:
Давление жидкости.
Сила давления
жидкости
плотности на вертикальную пластинку,
погруженную в жидкость, вычисляется по
формуле:
(7)
где
м/с2
– ускорение свободного падения,
площадь
пластинки, а глубина погружения пластинки
изменяется от
до
.
Задача 8. Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Шлюз имеет
форму прямоугольника, поэтому
=
18х, где
.
Плотность воды равна 1000 кг/м3.
Тогда сила давления воды на шлюз
составляет:
(Н).
Ответ:
Задача 9. Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3 м и радиусом основания 1 м.
Решение. Площадь
поверхности стенки цилиндрического
бака
,
где
.
Плотность бензина есть 800 кг/м3.
Тогда сила давления бензина на стенки
составляет
(Н).
Ответ:
