§2. Предел функции в точке, на бесконечности

Цель: формирование умения вычислять пределы функций, изучить правила раскрытия неопределенностей вида: .

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Число А называют пределом функции f(x) в точке а если при х→а, f(x) →А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при х→а, если

Функция f(x) называется бесконечно большой при х→а, если

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

Если функции f(x) и g(x) бесконечно малые при х→а, то (f(x)+g(x)) бесконечно малая при х→а.

Если функция f(x) бесконечно малая при х→а и g(x) – ограниченная, то – бесконечно малая.

Если существует , а g(x) – бесконечно большая при х→а, то ; .

Если при х→а, f(x) – бесконечно малая, то – бесконечно большая.

Если при х→а, f(x) – бесконечно большая, то – бесконечно малая.

Теоремы о пределах

1. Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел суммы (разности) этих функций, который равен сумме (разности) пределов функций f(x) и g(x):

2. Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел произведения этих функций, который равен произведению пределов этих функций:

3. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при х→а и предел g(x)≠0, то существует предел частного этих функций, который равен отношению их пределов:

Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Чтобы вычислить предел функции в точке, надо:

1. Подставить вместо переменной x то, к чему x стремится.

2. Если после выполнения пункта 1) получим неопределенность вида , то надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить дробь, или числитель и знаменатель домножить на сопряженное выражение и после этого сократить дробь. Заметим, что дробь всегда будет сокращаться, если в выражении x а стрелку заменить на минус: (x-а).

3. Если после выполнения пункта 1) получим неопределенность вида , то надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень неизвестного, или слагаемое с самой большой степенью в числителе разделить на слагаемое с самой большой степенью в знаменателе и взять предел от результата деления.

4. Если после выполнения пункта 1) получится неопределенность вида , связанная со значениями тригонометрических функций, надо воспользоваться первым замечательным пределом.

Пример 1. Найти предел

Решение: Так как то числитель дроби стремится к числу а

знаменатель – к числу Следовательно,

Пример 2. Найти предел

Решение: Здесь числитель дроби – величина постоянная, а знаменатель дроби при стремится к числу (неопределенность вида ).

Выражение при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина бесконечно большая величина. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая. Тогда

Пример 3. Найти предел

Решение: Здесь пределы числителя и знаменателя дроби при равны нулю (неопределенность вида ). Раскладываем квадратный трехчлен в числителе и знаменателе дроби на линейные множители по формуле:

, где и - корни трехчлена.

Сократив на общий множитель (х-2), получаем: .

Пример 4. Найти предел

Решение: При пределы числителя и знаменателя дроби равны нулю:

(неопределенность вида ). Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженный знаменателю множитель , а затем сократим на .

Пример 5. Найти предел

Решение: Имеем дело с неопределенностью вида . Так как то при есть величина бесконечно большая: ,

а обратная ей величина бесконечно малая величина ( б.м.в.).

Поэтому при произведение есть величина бесконечно малая.

Пример 6. Найти предел

Решение: Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида .

Разделив числитель, и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной знаменателя (в данном примере на ), получим:

Пример 7. Найти предел

Решение: В этом случае имеет место неопределенность . Умножим на сопряженное выражение и разделим на него.

Теперь разделим числитель и знаменатель на

_{Ответ: 0.} Вопросы и упражнения для самопроверки:

1.Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

2.Сформулируйте зависимость между бесконечно малой и бесконечно большой функциями.

3.Сформулируйте правила раскрытия неопределенностей вида

4.Выполнить действия:

5. Перевести иррациональность из числителя в знаменатель:

6.Перевести иррациональность из знаменателя в числитель:

7.Сократить дроби:

8.Вычислить пределы функций:

а)	б)	в)	г)
д)	е)	ж)	з)
и)	к)