§ 10. Применение определенного интеграла при вычислении площадей плоских фигур и объемов тел вращения

Цель: формирование умения применять формулы интегрирования и свойства неопределенного интеграла при вычислении площадей плоских фигур и объемов тел вращения

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона—Лейбница:

где a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования

F(x) - первообразная функция.

Правило вычисления определенного интеграла:

1. найти первообразную функцию F(x) для функции f(x) (найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором принять С=0);

2. в полученном выражении подставить вместо х сначала верхний предел b, а затем нижний предел a и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Свойства определенного интеграла:

1. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

.

4. Если переставить пределы определенного интеграла, то его знак изменится на противоположный:

Примеры: Вычислить определенные интегралы

1) ;

2) ;

3)

4)

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Упражнения для самопроверки

Вычислите определенные интегралы:

а) б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

Приложения определенного интеграла

К понятию определённого интеграла приводят самые разнообразные задачи: определение площади плоской фигуры, объема тела вращения, отыскание работы переменной силы, нахождение пути по заданной переменной скорости и многие другие.

Метод интегрального исчисления развивался вначале совершенно независимо от дифференциального исчисления, и только к концу 17 века удалось вскрыть между ними глубокую внутреннюю связь.

Открытие этой внутренней связи между дифференциальным и интегральным исчислением имело решающее значение для развития математики и естествознания. Это открытие Лейбница и Ньютона позволило не только значительно расширить область применения математики, глубже проникнуть в изучение закономерностей окружающей нас природы, но, что особенно важно позволило решать с единой точки зрения многочисленные задачи естествознания.

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции

ограниченной графиком непрерывной функции , где оси

Ох, отрезками (рис.21), вычисляется по формуле:

Рисунок 21

, где (1)

З адача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс (рис.22).

Решение. Применяя формулу (1) получаем:

Рисунок 22

Ответ: .

Задача 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и линией (рис.23).

Р ешение. Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций

Рисунок 23

и (осью ОХ). Для этого решим систему: , . Теперь найдем искомую площадь:

=

Ответ:

Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции , ограниченной непрерывной кривой , где , отрезком оси ОХ, отрезками прямых и (рис. 24), вычисляется по формуле:

(3)

Рисунок 24

Задача 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры ограниченной параболой , прямой и осью ОХ (рис. 25).

Р ешение. Применяя формулу (3) находим искомый объем:

Рисунок 25

Ответ:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ криволинейной

трапеции , ограниченной непрерывной кривой , где

Рисунок 26

Рисунок 26

, отрезком оси Оу, отрезками прямых и

(рис.26), вычисляется по формуле:

(4)

Задача 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой у = 4 (рис. 27).

Рисунок 27

Решение. Применяя формулу (4), находим искомый объем: