3.7. Квадратичные формы и их свойства

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами:

Коэффициенты квадратичной формы являются любыми действи­тель­ными числами, причем . Матрица А, составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. Матрица А всегда имеет симметричный относительно главной диагонали вид и поэтому часто называется симметрической.

ПРИМЕР: Найдите матрицу квадратичной формы, записанной в виде: .

Поскольку искомая матрица должна быть симметрической, то она должна содержать в качестве элементов главной диагонали коэффициенты при квадратах переменных, а в качестве остальных элементов – половины коэффициентов при произведениях переменных. Поэтому перепишем квадратичную форму в виде:

Расставив коэффициенты в круглых скобках в соответствующие строки матрицы, получим матрицу заданной квадратичной формы в виде:

Если ввести в рассмотрение две матрицы: Х^Т – матрицу-строку переменных и Х – матрицу-столбец переменных, то любую квадратичную форму можно записать в матричном виде:

Можно показать, что при невырожденном линейном преобразовании переменных , т.е. при переходе от переменных x_i к переменным y_i , матрица квадратичной формы изменится и примет вид: .

При некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях переменных вид квадратичной формы можно существенно упростить, приведя матрицу этой формы к диагональному виду.

Квадратичная форма L называется канонической, или имеющей канонический вид, если ее матрица является диагональной, т.е.

.

Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных всегда может быть приведена к каноническому виду.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используются разнообразные методы, среди которых наиболее часто применяется метод выделения полных квадратов. Покажем работу этого метода на конкретном примере.

ПРИМЕР: Привести к каноническому виду квадратичную форму, имеющую вид:

Выделим полный квадрат при переменной , т.е. перепишем заданную квадратичную форму в виде:

Таким образом, невырожденное линейное преобразование переменных: позволило привести данную квадратичную форму к каноническому виду: .

Полученные различными методами канонические виды одной и той же квадратичной формы в самом общем случае различаются значениями коэффициентов при новых переменных. Однако эти канонические виды обладают важным свойством:

Закон инерции квадратичных форм

Число слагаемых с положительными (отрицательными) и нулевыми коэффициентами в любом каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

ПРИМЕР: Квадратичная форма:

двумя различными способами приведена к следующим каноническим видам:

Сравнение этих канонических видов одной и той же квадратичной формы показывает, что в обоих видах число положительных слагаемых равно 2, а отрицательных – 1.

Квадратичная форма L называется положительно (отрица­тельно) определенной, если при любых значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство L > 0 (L < 0).

Существуют различные критерии для установления знаковой определенности квадратичных форм. Приведем два из них как наиболее употребительные.

Для того чтобы квадратичная форма L = XTAX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А этой формы были положительны (отрицательны).

Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма L = XTAX была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А этой формы были положительны.

В критерии Сильвестра под главными минорами матрицы понимают миноры i – го порядка, построенные следующим образом:

ПРИМЕР: Покажите положительную определенность квадратич­ной формы: .

Найдем вначале матрицу этой формы. Поскольку эту форму можно переписать в виде: , искомая матрица имеет вид:

Характеристическое уравнение для этой матрицы будет иметь вид:

, или: .

Решая его, найдем: , следовательно, на основа­нии первого критерия можно заключить, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Теперь найдем главные миноры матрицы А:

.

Поскольку оба полученных минора положительны, на основании критерия Сильвестра заключаем, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Рекомендуемая литература по Теме 3: [1 ÷ 3].

ВОПРОСЫ для самопроверке знаний по теме 3:

1. При каком значении с векторы и будут перпендикулярны?

2. Сколько векторов будет содержать базис пространства ?

3. Можно ли образовать ортонормированный базис из двух векторов: ?

4. В какие векторы преобразует векторы (1, 0) и (0, 1) линейный оператор, заданный матрицей ?

5. Является ли число 1 собственным значением матрицы ?

6. Будет ли положительно определенной квадратичная форма ?