Алгоритм Гаусса (пошаговый)

Шаг 1. Если элемент а₁₁ исходной матрицы равен нулю, т.е. а₁₁= 0, то перестановкой строк или столбцов матрицы добиваются того, чтобы элемент а₁₁ полученной матрицы был отличен от нуля.

Шаг 2. Сложением первой строки (в ней а₁₁ ≠ 0), умноженной на под­ходящие (различные для различных строк) множители, с другими строками до­биваются того, чтобы все элементы первого столбца матрицы, стоящие ниже элемента а₁₁ ≠ 0, т.е. элементы а₂₁, а₃₁, … были бы равны нулю.

Шаг 3. Теперь, либо уже получена ступенчатая матрица, либо в строках со второй по m-ую имеется по крайней мере один ненулевой элемент, который при помощи перестановки строк или столбцов (кроме первой строки и первого столбца) может быть поставлен на второе по порядку место в главной диагона­ли, т.е. на место элемента а₂₂. После этого снова выполняют операции, аналогичные шагу 2, но сложе­ние осуществляют уже со второй строкой, и в результате получают, что все эле­менты второго столбца, стоящие ниже элемента а₂₂ равны нулю и т.д. и т.д.

Аналогичные перечисленным операции применяются и к последующим строкам матрицы, а сам процесс продолжают до тех пор, пока не получат иско­мую, ступенчатую матрицу. Если в процессе выполнения таких операций на каком-то шаге получается нулевая строка, то ее вычеркивают.

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы

Решение. Убедившись, что для данной матрицы элемент а₁₁ = 1 ≠ 0, сразу переходим к шагу 2. Умножив первую строку матрицы на число (- 2), сло­жив ее со второй строкой и записав результат во вторую строку, а также сложив первую строку матрицы с третьей строкой и записав результат в третью строку, получим матрицу вида:

Убедившись, что в полученной после 2 шага матрице элемент а₂₂ = 7 ≠ 0, переходим к реализации шага 3, для чего умножим вторую строку этой матрицы на число 1/7 и сложим ее с третьей строкой, в результате полу­чим:

У полученной ступенчатой матрицы третья, нулевая строка может быть вычеркнута без изменения ранга этой матрицы. Оставшаяся матрица имеет раз­мер 2  4 и также является ступенчатой. Очевидно, что полученная ступенчатая матрица имеет две ступеньки (две строки), а, следовательно, ранг ее равен 2 и, следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Рекомендуемая литература по теме 1: [1 – 3].

Тест для самопроверки знаний по Теме 1. Матрицы и определители

1. Для умножения матрицы любого размера на число достаточно:

• умножить на это число элементы любой строки этой матрицы

• умножить на это число элементы любого столбца этой матрицы

• умножить на это число все без исключения элементы этой матрицы

2. Для какой из приведенных пар матриц определена операция умножения?

• 

• 

• 

3. Минором M_ij элемента a_ij квадратной матрицы A n-го порядка называется:

• любой определитель (n-1)-го порядка, полученный из этой матрицы

• любой определитель второго порядка, полученный из этой матрицы

• определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца этой матрицы

4. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij квадратной матри­цы A называется:

• минор этого элемента, взятый со знаком (- 1)^i+j

• минор элемента a_ij

• любой определитель (n–1)-го порядка матрицы A

5. Вырожденной называется квадратная матрица, определитель которой:

• не равен нулю

• равен нулю

• равен единице

6. Для существования обратной матрицы для матрицы A необходимо и достаточно, чтобы матрица A была:

• невырожденной

• вырожденной

• единичной

7. Какая из перечисленных ниже операций приводит к изменению ранга матрицы?

• перестановка строк (столбцов) матрицы

• транспонирование матриц

• вычеркивание любой строки (столбца) матрицы