Тема 4. Элементы аналитической геометрии в пространстве
После
выбора системы координат Oxyz
в трехмерном евклидовом пространстве
точки и векторы этого пространства
становятся тройками чисел: A(x,
y,
z),
.
После такой замены геометрические
свойства фигур можно изучать методами
алгебры и анализа, т.е. методами
аналитической геометрии. Ниже рассмотрены
только простейшие фигуры и их основные
свойства.
4.1. Уравнения плоскости
Пусть
заданы: прямоугольная система координат
Oxyz;
произвольная плоскость ;
точка
,
лежащая на плоскости ;
а также вектор
,
перпендикулярный плоскости
(рис. 4.1).
Рис. 4.1.
Рассмотрим
на плоскости
произвольную точку
.
Очевидно, что эта точка будет лежать на
плоскости
тогда и только тогда, когда векторы
и
будут взаимно перпендикулярны
(ортогональны), т.е. когда их скалярное
произведение будет равно нулю. Поскольку:
и
,
это условие можно записать в виде:
|
Это уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору .
Если
в последнем уравнении раскрыть скобки
и ввести обозначение:
,
то получим общее
уравнение плоскости:
При этом вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором (или вектором нормали) этой плоскости.
Очевидно, что угол между плоскостями, заданными общими уравнениями:
и
будет
определяться углом
между нормальными векторами:
и
этих плоскостей, а косинус этого угла
может быть найден по формуле:
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей эквивалентно условию коллинеарности нормальных векторов этих плоскостей, т.е. может быть записано в виде:
В свою очередь, условие перпендикулярности плоскостей вытекает из условия перпендикулярности нормальных векторов, т.е. из равенства нулю их скалярного произведения, и может быть записано в виде:
4.2. Уравнения прямой в пространстве
В самом общем случае прямая в пространстве может быть определена совместным заданием общих уравнений двух пересекающихся плоскостей:
Однако существуют и другие способы задания прямых в пространстве, или другие виды уравнения прямой, к выводу которых мы и переходим.
Пусть заданы: некоторая прямая L и ненулевой вектор , лежащий на данной прямой, или на параллельной ей прямой. Вектор будем называть направляющим вектором данной прямой L (рис. 4.2).
Рис 4.2.
Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный направляющий вектор: . Пусть произвольная точка пространства. Эта точка будет принадлежать прямой L тогда и только тогда, когда векторы и будут коллинеарны, т.е., когда их координаты будут пропорциональны:
Полученные уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой в пространстве.
В
частности, канонические уравнения
прямой, проходящей через две данные
точки
и
будут иметь вид:
Если теперь обозначить через t любое из равных отношений канонических уравнений:
,
то получим систему равенств:
Эти
равенства называются параметрическими
уравнениями прямой,
проходящей через точку
и имеющей направляющий вектор
.
Заметим, что в этих уравнениях t
– произвольно изменяющийся параметр.
Рекомендуемая литература по теме : [2 ÷ 3].
ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 4:
Каким будет нормальный вектор плоскости с общим уравнением
?
Запишите его координаты:
2.
Будут ли параллельными плоскости
и
?
3. Будет ли вектор (1, 1, 1) коллинеарным (параллельным) прямой, заданной параметрическими уравнениями:
4. Какая точка прямой с параметрическими уравнениями:
будет соответствовать значению параметра t = 5?