3.5. Евклидово пространство

Выше мы ввели понятие линейного векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на число, а также ввели понятия размерности и базиса этого пространства. Теперь дополним это пространство метрикой, т.е. укажем способы измерения длин векторов и углов между ними. Это можно сделать, доопределив в векторном пространстве поня­тие скаляр­но­го произведения векторов, естественно, обобщив его на случай n-мерных век­торов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное:

Отметим основные свойства скалярного произведения, которые непо­средственно вытекают из сформулированного определения.

1. - коммутативное свойство;

2. - дистрибутивное свойство;

3. - свойство справедливое для любого действительного α;

4. , если , и , если .

Определение. Линейное векторное пространство, в котором опре­делено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, рассматриваемым как аксиомы, называется евклидовым про­странством.

Определение. Длиной или нормой вектора в n-мерном евклидо­вом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата, т.е.:

Определенная таким образом норма вектора обладает некоторыми свойствами, основное из которых записывается в виде: и носит название неравенства Коши-Буняковского.

Очевидно, что косинус угла  между двумя векторами и можно определить равенством, непосредственно вытекающим из неравенства Коши-Бу­няковского:

, где:

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение. Векторы n-мерного евклидова простран­ства Rⁿ образуют ортонормированный базис, если они попарно ортогональны, и норма каждого из них равна единице.

Существует теорема, устанавливающая одно из основных свойств евкли­дова пространства.

Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером одного из таких ортонормированных базисов является сис­тема из n единичных векторов, у которых i-ая компонента равна 1, а все осталь­ные компоненты равны нулю, т.е. базис из векторов: и т.д.

3.6. Линейные операторы

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор этого же пространства, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) и записывают .

Оператор называется линейным, если для любых векторов и пространства Rⁿ и любого действительного числа λ выполняются соотношения:

• - свойство аддитивности оператора;

• - свойство однородности оператора.

Опираясь на свойства линейности оператора, можно показать, что его воздействие на вектор состоит в том, что матрица-столбец координат этого вектора (в некотором базисе) умножается слева на квадратную матрицу А оператора и в результате получается матрица-столбец координат вектора (в том же базисе), т.е. Y = AX. Другими словами, каждому линейному оператору можно поставить в соответствие единственную квадратную матрицу этого оператора.

При переходе к другому базису в пространстве Rⁿ матрица линейного оператора изменится. Можно показать, что матрицы А^* и А линейного оператора в новом базисе и в старом базисе , соответственно, связаны соотношением: , где С – матрица перехода от старого базиса к новому (см. подраздел 3.4).

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (или линейного преобразования, заданного матрицей А), если существует такое число λ, что справедливо равенство: . При этом число λ называется собственным значением оператора (или матрицы А), соответствующим собственному вектору .

Из приведенного определения следует, что собственный вектор под воздействием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на число – собственное значение, ему соответствующее.

Характеристическим уравнением матрицы А линейного оператора называется уравнение:

.

где λ – неизвестное собственное значение, Е – единичная матрица.

ПРИМЕР: Для матрицы

характеристическое уравнение будет иметь вид:

Таким образом, задача отыскания собственных векторов и собственных значений линейного оператора решается в следующей последовательности. Вна­чале составляют и решают характеристи­ческое уравнение. Его решениями будут собственные значения, причем их количество не превосходит n. После этого, подставляя последовательно каждое из найденных собственных значений в систему однородных уравнений вида:

каждый раз решают ее методом Гаусса и выясняют структуру нетривиальных решений – координат собственного векто­ра, соответствующего данному собственному значению.

ПРИМЕР: Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

Составим характеристическое уравнение для отыскания собственных значений:

Решениями этого уравнения будут два собственных значения преобразования А: λ₁ = 2 и λ₂ = − 1.

Приступим к отысканию собственного вектора, соответствующего первому из собственных значений. Для этого запишем систему однородных уравнений:

Полученная система фактически представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Положим и найдем . Таким образом, собственный вектор, соответствующий первому из собственных значений, будет иметь следующие координаты:

,

где С₁ – любое действительное число, отличное от нуля.

Для второго собственного значения система однородных уравнений запишется в виде:

Т.е. представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Полагая , найдем , и окончательно запишем:

,

где С₂ – любое действительное число, отличное от нуля.