Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса

1. Составляем расширенную матрицу системы.

2. С помощью элементарных преобразований строк приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

3. Если последняя ступенька полученной матрицы имеет только один шаг в ширину, система несовместна. Если же последняя ступенька имеет не менее двух шагов в ширину, то система совместна.

4. Если число ступенек равно числу неизвестных и последняя ступенька имеет два шага в ширину, то система имеет единственное решение, которое находится последовательно, начиная с последнего уравнения.

5. Если последняя ступенька имеет более двух шагов в ширину, или хотя бы одна из остальных ступенек имеет более одного шага в ширину, то совместная система имеет бесконечное множество решений.

ПРИМЕРЫ:

1. Решите методом Гаусса систему примера подраздела 2.2.1.

Следуя алгоритму, запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Число ступенек в полученной матрице равно числу неизвестных и равно 3, а последняя (нижняя) ступенька имеет два шага в ширину. Следовательно (п. 4 алгоритма), данная система имеет единственное решение. Составим эквивалентную систему:

Решая полученную систему от последнего уравнения к первому, после­довательно найдем: х₃ = 1, х₂ = 2, х₁ = 4.

2. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений:

Следуя алгоритму, запишем:

В полученной ступенчатой матрице последняя (нижняя) ступенька имеет 3 шага в ширину. Поэтому (п. 5 алгоритма), можно заключить, что данная система имеет бесконечное множество решений. Полученной ступенчатой матрице соответствует система:

Для отыскания общего вида решений этой системы положим х₃ = С, где С – любое действительное число, и подставив это значение в уравнения системы, последовательно найдем: х₂ = 1 – 2С и х₁ = 1 + С.

3. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений:

Следуя алгоритму, запишем:

В полученной ступенчатой матрице последняя (нижняя) ступенька имеет один шаг в ширину. Следовательно (п. 3 алгоритма), данная система несовместна.

Совместность любой системы линейных уравнений можно проверять с помощью следующего критерия.

Теорема Кронекера – Капелли

Система линейных уравнений совместна только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

ПРИМЕР: Проверьте совместность системы линейных уравнений:

Для сравнения рангов матриц составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Рассматривая полученную ступенчатую матрицу, имеющую только две ступеньки, можно сделать вывод, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен 2. Согласно критерию, данная система уравнений – совместна.

2.3. Системы линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если в каждом из уравнений системы сво­бодный член равен нулю. Она в общем случае имеет вид:

Очевидно, что такая система уравнений всегда совместна, поскольку она всегда имеет, по крайней мере, одно нулевое (тривиальное) решение.

Если в системе m = n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет единственное нулевое решение, что следует из формул Крамера. Следовательно, ненулевые решения возможны лишь для таких систем однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа неизвестных, или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Ненулевые решения системы однородных уравнений находятся путем ее решения методом Гаусса. При этом в силу однородности системы таких решений будет бесконечно много, и каждое из них будет выражаться через одну произвольную постоянную.

ПРИМЕР: Найдите ненулевые решения системы однородных уравнений:

Следуя алгоритму метода Гаусса, составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Полученной ступенчатой матрице будет соответствовать система уравнений вида:

Полагая х₃ = С, где С – произвольное действительное число, из третьего уравнения найдем: х₄ = 2С и, далее, х₂ = 35С и х₁ = 23С.

Рекомендуемая литература по Теме 2: [1 ÷ 3].