Тема 2. Системы линейных уравнений

2.1. Основные понятия и определения

В самом общем случае система m линейных уравнений с n неизвест­ными имеет следующий вид:

где и при всех и есть произвольные числа, называемые, соот­ветственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравне­ний системы.

Решением системы уравнений называется такая совокупность чисел, при подстановке которой в каждое из уравнений системы последнее обращается в числовое тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

В свою очередь, совместная система уравнений называется определен­ной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентны­ми, если они имеют одно и то же множество решений.

Всякая система уравнений, состоящая из m уравнений с n неизвестны­ми, всегда может быть записана в матричной форме:

,

где A – матрица коэффициентов при неизвестных, в общем случае прямоуголь­ная размером m  n, X – матрица-столбец неизвестных размера n  1, B – матрица-столбец свободных членов размера m  1.

2.2. Решение систем линейных уравнений

2.2.1. Метод обратной матрицы

Если в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и матрица системы А является невырожденной, т.е. |А| ≠ 0, то для матрицы системы существует обратная матрица А^-1.

Запишем такую систему в матричном виде: AX = B. Умножая слева обе части этого матричного равенства на матрицу А^-1, получим: A^-1(AX) = A^-1B. Так как (A^-1A)X = EX = X, то решением системы будет матрица-столбец:

ПРИМЕР: Для системы уравнений:

определитель матрицы системы |А| = 5 ≠ 0 (убедитесь в этом сами). Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует и имеет вид:

Поэтому решением данной системы будет матрица-столбец:

2.2.2. Правило Крамера

Предположим, что матрица системы А является квадратной, а ее определитель Δ₀ = |А| ≠ 0. Тогда единственное решение системы может быть найдено по формулам Крамера:

где Δ_j – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j –го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР: Решим с использованием формул Крамера систему примера в подразделе 2.2.1. Здесь Δ₀ = |А| = 5,

И по формулам Крамера получим:

2.2.3. Метод Гаусса

Методы, рассмотренные в предыдущих подразделах, примени­мы только когда число уравнений равно числу неизвестных. Однако существует универсальный метод решения таких систем, применимый при любом соотношении между числом уравнений и числом неизвестных – метод Гаусса.

Для любой системы линейных уравнений можно составить расширенную матрицу системы, которая отличается от матрицы системы тем, что справа добавляется еще один столбец – столбец свободных членов, который для удобства принято отделять вертикальной чертой. В общем случае расширенная матрица системы имеет вид:

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементар­ных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Система линейных уравнений, соответствующая этой матрице, будет эквивалентна исходной системе. Для системы уравнений, составленной по ступенчатой матрице, все решения могут быть найдены последовательно, начиная с последнего уравнения.