3.3. Размерность и базис векторного пространства

Вектор называется линейной комбинацией векто­ров векторного пространства, если он равен сумме произведе­ний этих векторов на произвольные действительные числа , т.е.:

Векторы векторного пространства на­зываются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что выполняется тождество:

. (*)

В противном случае, т.е. когда это тождество выполняется только при для всех векторы называются линейно независимыми.

Линейное векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов уже являются линейно зависимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного векторного пространства R называется его базисом.

Можно доказать следующее утверждение:

Каждый вектор линейного пространства R можно пред­ставить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векто­ров базиса.

ПРИМЕР: Если в n-мерном векторном пространстве R задан базис , то любой вектор этого пространства может быть представлен в виде разложения по векторам этого базиса: . При этом числа называются координатами вектора относительно этого базиса.

Замечание. Каждый вектор однозначно определяется координатами в некотором базисе. При этом нулевой вектор имеет в этом базисе нулевые коор­динаты, а противоположный данному вектор – противоположные по знаку коор­динаты.

Если имеется система n линейно независимых векторов пространства R и любой вектор этого пространства линейно выражается через векторы этой системы, то пространство R является n-мерным, а указанная система векторов – его базисом.

ПРИМЕР: Даны векторы , где векторы образуют базис линейного трехмерного пространства. Покажите, что данные векторы также являются базисом этого пространства.

Данные векторы образуют базис, если они являются линейно независимыми. Поэтому запишем для них тождество (*) сразу в матричном виде:

Этому тождеству соответствует система линейных однородных уравнений вида:

Поскольку определитель матрицы этой системы отличен от нуля |А| = 7 ≠ 0, согласно правилу Крамера, система имеет единственное нулевое решение: λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0. Это и означает, что заданные векторы – линейно независимы и образуют базис.

3.4. Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеется два базиса: «старый» и «новый» . Очевидно, что каждый из векторов нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

(*)

Это же представление можно записать в матричной форме:

Полученная запись означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода А. Эта матрица, как и матрица А^Т невырожденная, т.к. в противном случае ее строки (а, следовательно, и базис­ные векторы) оказались бы линейно зависимы.

Найдем зависимость между координатами одного и того же век­тора в разных базисах. Пусть некоторый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. можно записать:

Если теперь подставить в среднюю часть этих равенств выражения для векторов из равенств (*), то после несложных преобразо­ва­ний можно получить:

(**)

Систему представлений (**) можно записать и в матричной форме, т.е. в виде: Х = А∙Х^*, именно так координаты вектора в старом базисе выра­жаются через координаты того же вектора в новом базисе.

Если решить систему уравнений (**) методом обратной матрицы (это можно сделать, т.к. матрица A невырожденная, и обратная ей матрица существу­ет), то получим: Х^* = А^-1Х именно таким образом координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты того же вектора в старом базисе.

ПРИМЕР: Найдите координаты вектора в новом базисе примера подраздела 3.3.

Используя разложения векторов по векторам базиса, приведенные в условии примера подраздела 3.3, можно матрицу перехода от старого базиса к новому записать в виде:

.

Можно убедиться в том, что определитель этой матрицы |А| = 7 ≠ 0. Поэтому существует обратная ей матрица, которая имеет вид (убедитесь в этом самостоятельно):

Для отыскания координат вектора в новом базисе воспользуемся формулой: Х^* = А^-1Х и найдем:

Таким образом разложение вектора по векторам нового базиса можно записать в виде: