Сопромат_ Пособие к решению тестовых заданий

Условие прочности имет вид:

Из условия прочности по нормальным напряжениям определяют

проверяются по условию прочности по касательным напряжениям.

В сечениях балок могут быть точки, где опасные напряжения возникают от совместного действия нормальных и касательных напряжений. Для этих точек на основании теорий прочности находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых.

Условия прочности по различным теориям прочности

пользуется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [ р] [ с] – на сжатие).

Главные напряжения при поперечном изгибе:

32

где EJ x - жесткость при изгибе,

С и D - константы интегрирования, которые представляют

динат и определяются из граничных условий задачи.

Дифференциальные зависимости при изгибе:

8. Сложное сопротивление

Сложным сопротивлением называется нагружение, при котором в поперечных сечениях стержня возникает несколько внутренних силовых факторов.

33

Наиболее часто в расчетной практике встречаются следующие виды сложного сопротивления:

косой изгиб; внецентренное растяжение-сжатие; изгиб с кручением.

При анализе сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Искомая величина при этом находится в результате сложения величин, полученных при простых видах нагружения.

Косой изгиб

Косым изгибом называется вид нагружения стержня, при котором плоскость действия изгибающего момента М не проходит через главную ось поперечного сечения.

Рис. 25

На основании принципа суперпозиции изгибающий момент М раскладывается на составляющие М х , М у , действующие в плоскостях,

проходящих через главные оси поперечного сечения Оу и Ох (рис. 25): M x M cos , M y M sin . Здесь – угол отклонения плоскости

действия M от оси у.

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения определяются как сумма напряжений, возникающих от моментов Mx и My:

где х и у – координаты точки, где определяются напряжения.

Напряжения в сечении изменяются по линейному закону и имеется линия, на которой σ 0 . Эта линии называется нейтральной линией (н.л.). Положение нейтральой линии определятся формулой:

не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента М. Максимальные напряжения возникают в наиболее удаленных от

нейтральной линии точках сечения. Эти точки называются опасными.

На рис. 26 опасными являются точки А и В.

Условие прочности, записанное для точки А имеет вид:

где xA, yA – координаты точки A.

Для сечений, с выступающими углами (прямоугольник, швеллер, двутавр и др.), условие прочности может быть записано в точках с координатами xmax и ymax следующим образом:

35

Прогиб при косом изгибе определяется как геометрическая сумма прогибов возникающих в направлениях осей х и у (рис. 27) по форму-

осей.

Направление максимального прогиба определяется углом

Из этой формулы видно, что направления прогиба балки будет совпадать с плоскостью действия момента ( ) при Jx = Jy . Если

моменты инерции сечения не равны между собой, то направление прогиба и плоскость действия момента не совпадают (рис. 27). По этой причине изгиб называется косым.

Внецентренное растяжение - сжатие

Внецентренное растяжение-сжатие - вид нагружения стерж-

ня, при котором точка приложения продольной силы не совпадает с центром тяжести сечения.

Пусть сила F приложена в точке с координатами xF, yF (рис. 28). Если привести эту силу к центру тяжести сечения О, то получится, что в сечении действуют продольная сила N F и изгибающие моменты

M x FyF , M y FxF .

Нормального напряжения в сечениях стержня при внецентренном действии продольной силы:

Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 28. Опасными точками сечения могут быть точки наиболее удаленные

от нейтральной линии.

Условие прочности для пластичных материалов, у которых допускаемые напряжения при сжатии и растяжении одинаковы, записывается в виде

36

Для определения напряжений воспользуемся принципом независимости действия сил.

Mх

T y

Рис. 29

При действии изгибающего момента M x (рис. 30), в поперечном сечении стержня возникают нормальные напряжения, достигающие

От действия крутящего момента Т, в поперечном сечении стержня возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего зна-

Нормальные и касательные напряжения достигают наибольшего значения в точках А и В сечения вала (рис. 30).

Элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности точки А, находится в плоском напряженном состоянии. На его гранях действуют σ и τ (рис. 31).

38

τA σ

Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности записывается в следующем виде:

9. Энергетические методы определения перемещений

Потенциальная энергия деформации бруса

Полная потенциальная энергия произвольного стержня в общем случае нагружения равна

39

Обобщенная сила и обобщенное перемещение

Обобщенной силой называют любую силу (сосредоточенную силу, распределенную силу, момент), которая совершает работу на перемещении точки ее приложения.

Обобщенным перемещением называют такую величину, характеризующую деформацию бруса, на которую нужно умножить соответствующую обобщенную силу для вычисления ее работы.

На рис. 32 на балку действует сосредоточенная сила F, обобщенное перемещение , есть проекция действительного перемещения точки приложения силы АА1 на направление силы – отрезок АА2.

На рис. 33 обобщенной силой является момент пары М. Ему соответствует обобщенное перемещение - угол поворота θ (угол поворота поперечного сечения).

Обобщенным перемещением можно также считать любое перемещение сечений бруса, возникавшее под действием любых причин. Обозначим его ij, где первый индекс указывает сечение, для которого определяется перемещение и вместе с тем направление этого перемещения, второй индекс указывает на причину, вызвавшую это перемещение. На рис. 34 через СF обозначено линейное вертикальное перемещение точки С от действия силы F, приложенной в сечении С, DF - перемещение от той же силы сечения D в направлении самой силы.

40