Сопромат_ Пособие к решению тестовых заданий

M x Fz ,

Qy F .

Потенциальная энергия деформации при изгибе

Прогиб свободного конца балки равен

Положительная величина прогиба означает, что его направление совпадает с направлением силы F.

Метод Кастилиано

Данный метод определения перемещений основан на теореме Кастилиано: частная производная потенциальной энергии деформации системы по некоторой обобщенной силе Fi равна соответствующему обобщенному перемещению i

Подставив сюда формулу (I.10.1) получим формулу

в которой суммирование ведется по всем участкам бруса. Для прямого изгиба без учета поперечных сил получим

Метод Кастилиано проще всего может быть использован для определения перемещения точки приложения силы Fi.

42

Пример. Для рамы (рис. 36) используя метод Кастилиано опреде-

Метод определения перемещения, основанный на равенстве работы внешней силы и потенциальной энергии деформации и метод Кастилиано позволяют вычислять перемещение только точки приложения силы и только в направлении ее приложения. Это значительно сокращает область их использования.

Метод Мора

Метод Мора позволяет находить перемещение любой точки в любом направлении. Он заключается в следующем: сначала записывают-

M x , M y , M к , N , Qx , Qy , возникающих на участках бруса от заданной нагрузки. Затем убирается вся внешняя нагрузка, и к брусу в направ-

лении искомого перемещения прикладывается единичная сила F 1, записываются выражения для внутренних силовых факторов

M x , M y , M к , N, Qx , Q y , возникающих на участках от единичной си-

лы.

Перемещение определяется как сумма интегралов вида

При прямом изгибе формула может быть записана в виде

Пример. Для рамы, показанной на рис. 37 определить вертикальное и горизонтальное перемещения точки А

Для определения горизонтального перемещения точки А, разгрузим раму и приложим в точку А горизонтально направленную единичную

силу F 1 (рис. 38).

44

мещение точки А в действительности происходит в направлении обратном направлению приложенной единичной силы.

Определим угол поворота А, приложим в точку А единичный момент (рис. 40)

Изгибающие моменты, возникающие от единичного момента равны:

Способ Верещагина

Если участки бруса прямолинейны и имеют постоянную жест-

кость, то вычисление интегралов Мора можно производить графоаналитическим способом А.И.Верещагина. При этом вместо аналитических выражений функций внутренних силовых факторов используются их эпюры. Если рассматривать плоский брус, нагруженный в его плоскости, и учитывать только перемещение от изгибающего момента, то перемещение i по способу Верещагина вычисляется следующим образом:

где ω - площадь эпюры изгибающего момента М, возникающего от

46

заданной нагрузки (грузовая эпюра); MC - ордината эпюры изгибаю-

щих моментов, возникающих от действия единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения, взятая под центром тяжести грузовой эпюры. Для упрощения записи опущен индекс, указывающий, вокруг какой оси происходит изгиб. Суммирование производится для всех участков бруса.

Таблица 1

В тех случаях, когда грузовая М и единичная M C эпюры обе прямолинейны, можно умножать площадь единичной эпюры на соответ-

ствующую ординату M C грузовой эпюры, взятую под центром тяже-

сти единичной. В любом случае ордината M C берется только на

линейной эпюре. Если эпюры М и M C имеют разные знаки (построены с противоположных сторон от оси бруса), то произведение берется со знаком минус.

Для удобства вычисления площадей и координат центров тяжести эпюр их разбивают на простейшие элементы: прямоугольник, треугольник, параболический треугольник и выполняют перемножение по отдельным элементам. В табл. 1 даны площади и координаты центров тяжести простейших фигур. Формулы для параболического треугольника справедливы только при условии, что одна из вершин треугольника является экстремальной точкой (вершиной) параболы.

Используя принцип суперпозиции, по-

строим эпюры отдельно от внешней нагрузки q (рис. 42) и М (рис. 43).

Рис. 42

48

Для определения перемещений приложим в точке А горизонтальную единичную силу, а в точке В – единичный момент. Построим эпюры единичных изгибающих моментов (рис. 44, рис. 45).

Горизонтальное перемещение найдем, перемножая единичную эпюру (рис. 44) на грузовые эпюры моментов (рис. 42 и рис. 43).

Угловое перемещение найдем перемножая единичную эпюру (рис. 45) на грузовые эпюры моментов.

Как видно, способ Верещагина позволяет определять перемещения только на основании знаний о геометрических характеристиках простейших фигур. Каждая сложная задача может быть разделена на простые, такие, что построение эпюр изгибающих моментов для них не

49

представляет каких либо трудностей. Поэтому способ Верещагина позволяет достаточно просто решать даже сложные задачи.

10. Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми системами называются конструкции, в элементах которых усилия не могут быть определены только из уравнений статики.

Статически неопределимые конструкции имеют так называемые лишние связи. Они могут возникать в опорах, стержнях, других элементах. "Лишними" такие связи называются потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции, а обу-

F F

словливаются требованиями к ее прочности и жесткости. Такие лишние связи называются внешними. Кроме того, лишние связи могут возникать вследствие особенностей самой конструкции. Например, замкнутый контур рамы (рис. 46 г) имеет по три неизвестных внутренних усилия в каждом сечении, то есть всего шесть, и три из них являются "лишними". Такие лишние усилия называются внутренними. По числу внешних или внутренних лишних связей устанавливают

50

степень статической неопределимости системы. Она равна разности между числом неизвестных, подлежащих определению, и числом уравнений статики. При одной лишней неизвестной система называется один раз или однажды статически неопределимой, при двух – дважды статически неопределимой и так дале. Конструкция, показанная на рис. 46а является один раз статически неопределимой, а конструкции, приведенная на рис. 46б и в, – дважды статически неопределимыми, на рис. 46г – шесть раз статически неопределимой.

При решении статически неопределимых задач кроме уравнений статики используются также уравнения, учитывающие деформации элементов конструкций.

Существует несколько методов решения статически неопредели-

мых задач: метод сравнения перемещений, метод сил, метод перемещений.

Метод сил

При расчете статически неопределимых систем в качестве неизвестных принимаются силы.

Расчет по методу сил проводят в такой последовательности:

1.Устанавливают степень статической неопределимости.

2.Путем удаления лишних связей заменяют исходную систему статически определимой, называемой основной системой. Таких систем можно построить несколько, соблюдая при этом условие их геометрической неизменяемости.

3.Основную систему нагружают заданными внешними силами и лишними неизвестными усилиями, заменяющими действие удаленных связей, в результате чего получают эквивалентную систему.

4.Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации основной системы не отличались от деформации исходной статически неопределимой системы. Для этого перемещения точек приложения лишних неизвестных по направлению их действия приравнивают нулю. Из полученных таким образом дополнительных уравнений определяют значения лишних неизвестных усилий. Определение перемещений соответствующих точек можно производить, любым способом» однако лучше использовать при этом наиболее общий метод Мора.

51