Лекции_Муравьёв

Лекция 18 Спин 1/2. Спиновые функции, операторы спина. Матрицы Паули и их свойства. Разложе-

ние по спиновым функциям

Целый ряд элементарных частиц – электроны, нейтроны, протоны и другие – обладают спином s 1/ 2 . По этой причине рассмотрим подробно свойства спиновых функций и операторов именно в этом случае.

В этом случае проекция спина на ось z может принимать два значения sz 1/ 2 и sz 1/ 2 , а потому спиновые волновые функции представляют собой двухкомпонентные спи-

Построим матрицы спиновых операторов в sz -представлении. В этом представлении базисными функциями являются собственные функции оператора sˆz . Очевидно такими функциями явля-

ются следующие спиноры

ному значению +1/2. Аналогично, функция e2 sz - собственная функция оператора sˆz , отве-

чающая собственному значению -1/2.

Очевидно, искомые матрицы спиновых операторов представляют собой матрицы раз-

мерности 2 2 . Начнем с построения матрицы оператора sˆz . Так как функции (3) – собствен-

Из формул (4) находим

47

Для построения матриц операторов sˆx и sˆy найдем сначала матрицы операторов

sˆ sˆx isˆy . Поскольку коммутационные соотношения между операторами проекций спина та-

кие же, как для операторов орбитального момента, то при действии операторов sˆ на собствен-

ные функции оператора sˆz получаются также собственные функции этого оператора, отвечаю-

щие на единицу большему или меньшему собственному значению. При действии операторов sˆ ( sˆ ) на собственную функцию, отвечающую максимальному (минимальному) собственному значению получается спиновая функция, тождественно равная нулю, то есть нулевой столбец. Поэтому

Матрицу (9) можно было бы получить и по-другому из следующих рассуждений. Поскольку любая спиновая функция для частицы со спином 1/2 (то есть любой двумерный столбец) являет-

определенное значение), то матрица оператора sˆ2 является диагональной, причем диагональные матричные элементы равны 3/ 4, то есть матрица оператора sˆ2 и есть матрица (9).

48

Свойства матриц Паули А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовы-

ми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие x2 = y2 = z2 = 1, где 1 – единичная матрица.

Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В. i k = ik i ikl l

Г. Любая матрица (2 2) может быть представлена в виде: U (2 2) = a0 a . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули ({1, i }) образуют полный набор матриц

(2 2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. i k k i = 2 ik . В частности, x y = y x , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось x и с какими вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора sˆx и разложить по ним функцию (10).

Решаем уравнение

или

49

(множители возникли из условия нормировки).

Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет

Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных зна-

ных значений проекции спина на ось x одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось x равно

50

Этот же результат можно получить, с использованеим квантовомеханической формулы для средних

51

51

51

Лекция 19 Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в

магнитном поле. Уровни Ландау

Многие элементарные частицы (в том числе и незаряженные) имеют магнитный момент, не связанный с ее движением в пространстве, а связанный с внутренними степенями свободы.. Ясно, что природа этой величины такая же, как и природа спинового момента, поэтому оператор магнитного момента пропорционален оператору спина:

где s - максимальное собственное значение оператора проекции спина (или, другими словами, спин частицы). Из формулы (1) следует, что максимальное собственное значение оператора проекции магнитного момента равно:

Эта величина и есть магнитный момент частицы. Как следует из (1) вектор магнитного момента направлен по или против собственного механического момента (спина). Например, для электро-

на, = | e | h , где me - масса электрона, e - элементарный заряд. Это значение момента следу- 2mec

ет из релятивистского уравнения движения (уравнения Дирака).

Величину Б = | e | h называют магнетоном Бора.

2mec

Для нейтрона: n = 1,91 я , где я = | e | h - ядерный магнетон ( mp - масса протона). Он

2mpc

приблизительно в 2000 раз меньше магнетона Бора Б за счет разницы масс электрона и прото-

на. Знак минуса у магнитного момента нейтрона показывает, что спин нейтрона направлен про-

тив его спина. Для протона: p = 2,79 я .

Рассмотрим заряженную частицу во внешнем электромагнитном поле.

Пусть частицы со спином находится в электромагнитном поле, E и H - напряженности электрического и магнитного поля.

A, - векторный и скалярный потенциалы этого поля.

52

Чтобы написать оператор Гамильтона этой частицы необходимо написать классическую функцию Гамильтона частицы в поле, а затем заменить координаты и импульсы в этом выраже-

с таким гамильтонианом (3) называется уравнением Паули. В силу того, что потенциалы элек-

тромагниного поля A и определены неоднозначно, то и волновая функция частицы со спи-

ном в электромагнитном поле, которая является решением уравнения (3) имеет разный вид в различных калибровках.

Градиентное преобразование Напомним, что градиентным преобразованием в электродинамике называется преобразо-

вание потенциалов

которое не меняет напряженности электрического и магнитного полей (в этом можно убедиться непосредственно, вычисляя поля для двух наборов потенциалов A, и A , , связанных преоб-

разованием (5)). Посмотрим, как изменяется решение уравнение Паули при градиентном преобразовании потенциалов.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решением нового уравнение Шредингера (после градиентного преобразования)

будет следующая функция:

53

где f (r,t) - функция, определяющая градиентное преобразование. А поскольку функция f (r,t)

действительна, из формулы (7) следует, что никакие вероятности и средние в результате градиентного преобразования не изменяются (так как определяются квадратом модуля волновой функции). Такое свойство уравнения Шредингера называется градиентной или калибровочной инвариантностью (отметим, что этим же свойством обладают и классические уравнения Га-

Скалярный потенциал возьмем равным нулю (легко проверить, что при таком выборе потенциалов получаются нужные поля).

Уравнение Шредингера для бесспиновой заряженной частицы в таком магнитном поле имеет вид:

где и - некоторые постоянные. Подставляя функцию (10) в уравнение (9), получим следу-

ющее уравнение для функции f ( y) :

Уравнение (11) легко сводится к уравнению Шредингера для одномерного гармонического осциллятора. Для этого введем следующие обозначения

В результате после элементарных преобразований вместо уравнения (11) получим новое урав-

54

нение

а это и есть уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора с массой и

безразмерная координата частицы. Отсюда находим энергии и волновые функции стационарных стсояний частицы в магнитном поле, направленном вдоль оси z :

Из формул (16), (17) следует, что движение частицы разделилось на равномерное движение вдоль оси z (энергии такого движения отвечает первое слагаемое формулы (16)) и колебательное (вращение) в плоскости (x, y) (второе слагаемое в (16)). При этом то обстоятельство, что гармоническое движение происходит как будто бы только по оси y , в то время как классиче-

ское круговое движение в плоскости (x, y) представляет собой колебания и по оси y и по оси

x , связано с тем, что волновая функция n (x, y, z) описывает состояние с неопределенным положением равновесия для колебания вдоль оси x . А поскольку энергия не зависит от , имеет место вырождение уровней энергии (с бесконечно высокой кратностью вырождения), которое соответствует различным положениям положения равновесия для колебания по оси x . Поэтому той же энергии отвечают любые состояния вида

где C( ) - произвольная функция (в подынтегральном выражении в (18) от не только по-

казатель комплексной экспоненты, но и безразмерный аргумент полиномов Эрмита и действительной экспоненты; см. формулу (15)). Функцию C( ) можно подобрать так, что решение (18)

55

будет отвечать определенному положению равновесия для колебания вдоль оси x , и неопределенному вдоль оси y .

Рассмотренные решения задачи о движении заряженной частицы в магнитном поле принято называть «уровнями Ландау».

56