Лекции_Муравьёв

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

то это состояние - собственное состояние гамильтониана H ˆ , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию

0 можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по Q ). В состоянии 0 величина H принимает наименьшее значение. Из (13), (16)

получим

51

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

Далее. Пусть E - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собствен-

ному значению E . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора a на функцию E

(20)

также является собственной функцией оператора H ˆ , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем E (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

оператором a . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамиль-

тона через a и a (13), получим

H ˆ

то есть оператор a является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения E на-

чать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе ша-

гов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию 0 и собственному

52

Интегрируя это уравнение, получим:

53

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волно-

вые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора a находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

54

54

54

Лекция 11 Вычисления с осцилляторными функциями

В различных задачах, связанных с гармоническим осциллятором, приходится вычислять интегралы типа

где fi (x) - собственные функции гамильтониана осциллятора (везде в этой лекции под x будет подразумеваться безразмерная переменная, связанная с размерной координатой через параметр длины h/ m ). Проблема заключается не только в том, что у нас нет явных выражений для полиномов Эрмита (а только рекуррентные соотношения), но и в том, что даже, если бы они существовали бы, не очень понятно как ими воспользоваться для больших индексов (очень громоздко).

Несмотря на то, что явное выражение для коэффициентов полиномов Эрмита действительно не существует (например, найти коэффициенты 2008 полинома Эрмита в каком-нибудь справочнике по математике невозможно), их свойства очень хорошо изучены, и для вычисления интегралов типа (1) и не нужны. Покажем, как вычисляются такого рода интегралы на основе рекуррентных соотношений между полиномами Эрмита.

Для полиномов Эрмита справедливы следующие рекуррентные соотношения (см., на-

(эти формулы можно получить из рекуррентного соотношения для коэффициентов полиномов Эрмита из лекции 9). Используем первое из этих соотношений для вычисления интеграла

Для этого представим осцилляторные функции в (4) как произведения полиномов Эрмита на экспоненты exp( x2 / 2) , и для произведения xHk (x) воспользуемся рекуррентным соотноше-

нием (2). В результате получим

1

нормировочные постоянные в осцилляторных функциях. Из формулы (5) сразу следует, что далеко не для всех значений индексов рассматриваемый интеграл отличен от нуля. Действительно, первый интеграл в (5) сводится к интегралу от n -ой и k 1 -ой осцилляторных функций, и потому отличен от нуля только если n k 1 (из-за ортогональности осцилляторных функций). Аналогично, второй интеграл отличен от нуля, если n k 1 . Т.е. рассматриваемый интеграл, который представляет собой матричный элемент матрицы оператора координаты в базисе из осцилляторных функций, отличен от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу. Кроме того, из формулы (5) видна и «техническая сторона» дальнейших вычислений рас-

сматриваемого интеграла – нужно свести произведения Hk 1 (x)e x2 / 2 и Hk 1 (x)e x2 / 2 к собствен-

ным функциям осцилляторного гамильтониана fk 1 (x) и fk 1 (x) и воспользоваться тем, что ос-

цилляторные функции нормированы на единицу (т.е. интеграл от квадрата каждой функции равен единице).

Реализуем этот план. Сначала первое слагаемое формулы (5). Используя выражение для

Аналогичные вычисления второго слагаемого в (5) приводят к следующему результату

2

Мы получили очень важный для исследования свойств гармонического осциллятора результат: матричные элементы оператора координаты отличны от нуля только если индексы отличаются на единицы, и, следовательно, матрица оператора координаты является околодиагональной.

Матричные элементы оператора производной

(с которым связан оператор импульса) можно вычислить с помощью второго рекуррентного соотношения. Приведем только основную идею вычисления и результат.

При дифференцировании осцилляторной функции fk (x) в подынтегральном выражении

в (9) необходимо продифференцировать и полином Эрмита Hk (x) и экспоненту e x2 / 2 . В ре-

зультате для производной от собственной функции гамильтониана гармонического осциллятора имеем

Далее для первого слагаемого нужно воспользоваться рекуррентным соотношением (3), для второго – соотношением (2). В результате получим, что производная от k -ой осцилляторной функции по координате сводится к определенной линейной комбинации k 1 -ой и k 1-ой осцилляторных функций. Отсюда сразу следует, что интеграл (9) отличен от нуля только в случаях n k 1 или n k 1 . Для дальнейшего вычисления этого интеграла необходимо свести его к двум нормировочным интегралам от осцилляторных функций (при этом необходимо использовать явное выражение для нормировочного коэффициента (6)). Поскольку технически эти действия мало чем отличаются от подробно описанных выше, приведем только окончательный результат

3

Из формулы (11) следует, что матрица оператора импульса в базисе из осцилляторных функций также является околодиагональной.

Напомним, что все вычисления мы проводили в безразмерных переменных. Однако, их очень легко исправить на случай вычисления «настоящих» (размерных) матричных элементов. Основная идея такого исправления заключается в том, матричный элемент оператора координаты имеет размерность длины, и, следовательно, выражается через параметр длины для осцилля-

тора h/ m , а матричный элемент оператора импульса – через параметр импульса hm . По-

этому после обезразмеривания соответствующих интегралов они сведутся к вычисленным безразмерным интегралам и указанным размерным множителям (кроме того, чтобы свести интеграл (9) к матричному элементу оператора импульса его нужно умножить на i ). Поэтому матричные элементы операторов координаты и импульса равны

Аналогично проведенному рассмотрению можно найти матричные элементы квадратов операторов координаты и импульса в базисе из осцилляторных функций. Для этого необходимо дважды применить рекуррентные соотношения (2) или (3) сначала к k -ой осцилляторной функции, а затем к полученным в результате k 1 -ой и k 1-ой функциям. Отсюда следует, что матричные элементы

ханики нам придется иметь дело с этими матричными элементами, приведем для справок соответствующие результаты

Из формул (14), (15) легко найти средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора, находящегося в стационарном состоянии (поскольку кинетическая энергия

4

сводится к квадрату оператора импульса, потенциальная – к квадрату оператора координаты).. Пусть, осциллятор находится в k -ом стационарном состоянии. Тогда из формул (14), (15) имеем

Этот результат можно было предсказать и без вычислений, так как средняя энергия осциллятора в любом состоянии, являющимся собственным состоянием гамильтониана, равна соответствующему собственному значению.

5

Лекция 12 Общие свойства стационарных состояний одномерного движения в случае непрерывного

спектра. Прохождение потенциальных барьеров

Рассмотрим теперь решения уравнения Шредингера, отвечающие непрерывному спектру собственных значений. Эти решения не затухают при x и, следовательно, не могут быть нормированы на единицу. Поэтому постулат квантовой механики относительно вероятностной интерпретации волновой функции таких состояний должен быть модифицирован. Действитель-

момент времени. Таким образом, величина | (x,t) |2 dx не имеет смысла вероятности, если вол-

новая функция является собственной функцией некоторого эрмитового оператора (в частно-

ˆ

сти, оператора Гамильтона H ), относящейся к непрерывному спектру собственных значений. Квадраты коэффициентов разложения волновых функций непрерывного спектра по собственным функциям любого оператора также не имеют смысла вероятностей, поскольку их сумма не равна единице. Несправедлива в этом случае и формула для среднего значения, поскольку ее вывод явно использует вероятностную интерпретацию волновой функции.

Очевидно, что в случае инфинитного движения вероятностное описание частицы в духе постулата 1 в принципе невозможно. Действительно, если частица с конечной вероятностью может находиться в любой точке бесконечно большого объема, то вероятность обнаружить ее в любом конечном объеме должна быть равна нулю, то есть dw(x,t) / dx 0 , даже если волновая функция в этом объеме не равна нулю. Поэтому предположим, что в случае непрерывного спектра волновая функция описывает не одну, а N одинаковых частиц (или, как говорят, поток частиц), каждая из которых дает вклад, равный единице, в расходящийся нормировочный интеграл | |2 dx . Тогда, | (x,t) |2 Ndw(x,t) / dx (причем правая часть этой формулы конечна,

так как N , а dw(x,t) / dx 0 ). Из этой формулы следует, что несмотря на то, что квадрат волновой функции не имеет смысла вероятности, отношение квадратов значений волновой функции в двух точках определяет отношение вероятностей обнаружить частицу в интервале

разложения волновой функции непрерывного спектра по собственным функциям оператора некоторой величины не определяют вероятности соответствующих собственных значений, но их

6