Лекции_Муравьёв

Однако в некоторых центральных полях (это зависит уже от конкретной зависимости U (r) ) возможна ситуация, когда энергии уровней с различными моментами совпадают

(например, кулоновском поле или трехмерном изотропном осцилляторе). Такое вырождение по моменту часто называют «случайным», причем слово «случайное», как правило, берут в кавычки. Это связано с тем, что причин для такого вырождения, на первый взгляд, нет (поэтому слово - случайное), но, они, конечно, для каждого потенциала существуют (поэтому кавычки - «…»).

Ну а теперь давайте рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральносимметричном поле, не конкретизируя вид потенциальной энергии, и исследуем общие свойства решений этого уравнения. Будем искать решения дифференциального уравнения (8) в виде произведения функций, зависящих отдельно от r и от , (r, , ) f (r)g( , ) . Под-

ставляя это выражение в уравнение (8), получим

где r и , - радиальная и угловая части лапласиана. Разделим уравнение (10) на произведе-

ние fg и умножим на 2 r2 , получим

Правая часть уравнения (11) зависит только от углов, левая - только от модуля радиуса-вектора. Поэтому для того, чтобы равенство (11) удовлетворялось необходимо, чтобы и правая и левая части (11) равнялись бы некоторой постоянной. Обозначим эту постоянную (которая имеет раз-

мерность квадрата постоянной Планка) как h2 , где - некоторое безразмерное число. Тогда

Уравнение (13) с точностью до множителя h2 совпадает с уравнением на собственные значения и собственные функции оператора квадрата момента импульса, причем число с точ-

ˆ2

ностью до множителя совпадает с собственным значением оператора L . В предыдущей главе показано, что конечные решения уравнения (13) существуют только для чисел l(l 1) , где l 0,1,2... - целое неотрицательное число. Каждому значению l(l 1) отвечают 2l 1 раз-

27

личных ограниченных решений g( , ) , которые можно выбрать так, чтобы они одновременно

(13), (14) являются сферические функции Ylm ( , ) . Таким образом, в качестве угловой части решений уравнения (8) всегда можно выбрать сферические функции, и, следовательно, собственные функции оператора Гамильтона частицы в центральном поле можно выбрать так, чтобы они описывали состояния с определенными значениями момента импульса и его проекции на ось z . (Конечно, решения можно выбрать и по-другому. Любая линейная комбинация решений разными m также будет собственной функцией операторов Гамильтона и квадрата момен-

причем необходимо перебрать все возможные значения l . Из этого же уравнения и условия ограниченности решения f (r) должно быть определено и собственное значение E . Таким об-

разом радиальная функция f (r) и собственная энергия E определяются разными уравнениями

для разных значений l , то есть, вообще говоря, зависят от l : f (r) fl (r) , E El . При этом от значения проекции момента m эти величины не зависят ( m не входит в уравнение (15), то есть уровни энергии вырождены по проекции момента.

Рассмотрим уравнение (15) для некоторого фиксированного значения момента l . Перей-

дем в этом уравнении к новой неизвестной функции l (r) rf (r) . Подставляя функцию l (r) / r

в уравнение (15), получим уравнение для функции l (r) :

Уравнение (16) для функции l (r) совпадает с одномерным уравнением Шредингера для ча-

стицы, движущейся в «одномерном» потенциале

28

определенном при r 0 и называемом «эффективным потенциалом» (отметим, что аналогичная добавка к центральному потенциалу возникает и в классической механике и называется центро-

r 0 , и которое в одномерной задаче возникало бы, если бы эффективный потенциал при r 0 имел бесконечно высокую стенку.

Одномерное уравнение Шредингера было подробно исследовано ранее. Воспользуемся результатами этого исследования. Пусть U (r ) 0 . Тогда при E 0 уравнение (16) для

любого l имеет непрерывный спектр собственных значений E , причем каждому собственному значению E отвечает единственное (с точностью до множителя) решение El (r) . Поэтому для каждого значения E 0 уравнение (16) имеет бесконечное множество ограниченных решений

E удовлетворяет уравнению (16). Поскольку функции Elm являются и собственными функци-

рат момента и его проекция на ось z имеют определенные значения.

Рассмотрим теперь случай, когда E 0 . Как было показано ранее, в этом случае ограниченные решения одномерного уравнения (16) могут существовать только при дискретных значениях E , причем для этого потенциальная энергия должна представлять собой достаточно глубокую «яму»; в противном случае дискретные собственные значения могут не существовать вовсе. Поскольку для каждого значения момента l дискретные собственные значения и отвеча-

ющие им радиальные функции l (r) определяются из решения разных уравнений, для каждого значения l существует своя система собственных значений El и собственных функций l (r)

(причем каждому такому собственному значению El отвечает единственное ограниченное ре-

шение l (r) ). Перенумеруем эти собственные значения и соответствующие им собственные функции для каждого l (начиная с наименьшего собственного значения) целым индексом nr 1, 2, 3, ..., (иногда нумеруют, начиная с nr 0 ) который называется радиальным квантовым числом. Таким образом, все дискретные собственные значения и радиальные функции зависят от двух индексов E Enrl , (r) nrl (r) - индекс момента l определяет уравнение, из которо-

29

го находятся собственные значения и радиальные функции, а радиальное квантовое число nr

нумерует решения уравнения с фиксированным l в порядке возрастания энергии (отметим, что согласно осцилляционной теореме радиальное квантовое число определяет число узлов функ-

ции nrl (r) , включая и узел при r 0 ). При этом может оказаться, что уравнение (16) для неко-

торых значений l вообще не имеет дискретных собственных значений (это зависит от потенци-

ала U (r) ). В этом случае уровни энергии Enrl с таким значением момента в данном потенциале отсутствуют. Поскольку каждому дискретному собственному значению Enrl отвечает един-

ственная радиальная функция nrl (r) , то каждому дискретному собственному значению отве-

чают 2l 1 различных собственных функций

отличающихся друг от друга проекцией момента на ось z , то есть имеет место вырождение уровней энергии по проекции момента m , о котором говорилось выше. Часто состояния с оди-

наковыми квантовыми числами nr и l , но разными m часто называют мультиплетом состоя-

ний.

Так как дискретные собственные значения Enrl для разных значений l определяются из решения разных радиальных уравнений, то совпадение энергий состояний с различными l (или, как говорят, вырождение уровней энергии по моменту), вообще говоря, не имеет места. Тем не менее для некоторых потенциалов (например, для кулоновского поля притяжения или трехмерного изотропного осциллятора) может оказаться, что энергии состояний с различными l совпадают. Такое вырождение называют «случайным» (о нем уже говорилось выше), поскольку соб-

ственные значения Enrl для различных значений l определяются из независимых уравнений.

Ясно, однако, что точного совпадения двух абсолютно несвязанных величин быть не может, и, следовательно, существуют причины, почему именно для этих потенциалов совпадают на первый взгляд несвязанные величины. Поэтому слова «случайное вырождение по моменту», как правило, берут в кавычки.

В заключение этой лекции приведем терминологию, которая впервые возникла в атомной физике и которая широко используется в квантовой механике, атомной и ядерной физике сего-

30

31

31

31

Лекция 16 Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения.

Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид (r, , ) fl (r)Ylm ( , ) , причем

и граничному условию l (r 0) 0 . Введем безразмерную координату r r / a , где a h2 / me2

- величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

где 2 E2a / e2 - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного

спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции u(r) : l (r) rl 1 exp( r)u(r) . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции u(r) :

32

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

вательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция u(r) является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

где nr 0,1, 2, ... - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа

зависят от числа l , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с l 0 .

l 0 , nr 0 . Ряд обрывается на первом слагаемом, если 1. В этом случае unr 0,l 0 (r) C0 , где нулевой коэффициент ряда C0 может быть выбран любым.

33

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам nr и l .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно пере-

числить с помощью одного целого положительного числа N l nr 1: Enrl EN , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными l и nr вырождены, если сумма квантовых чисел l и nr для этих состояний одинакова.

Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку l, nr 0 ,

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

N 1 (основное состояние). EN 1 e2 / 2a . Значению N 1 отвечает единственная пара кван-

товых чисел nr 0 и l 0 , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18) r r / a - безразмерный радиус-вектор).

34

жден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту: exp( r) - для первого, exp( r / 2) - для второго, exp( r / 3) - для третьего и т.д. Это

значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве: r 1 - для первого уровня (напомним, что r здесь – безразмерная координата, в

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде(x, y, z) f (x)g( y)h(z) . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

только от z , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе

35

Собственное значение E равно сумме собственных значений E .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллято-

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами n, k, m :

причем квантовые числа n, k, m независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сфери-

ческого осциллятора можно описать формулой EN h (N 3/ 2) , где N - целое неотрицатель-

ное число, причем основному состоянию отвечает N 0 .

Очевидно, собственные значения Enkm совпадают для таких наборов квантовых чисел n, k, m , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения N -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число N как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе n числа k и m могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число N n представить как сумму

36