Лекции_Муравьёв

l 0

Из формул (7), (8) следует, что дифференциальное и полное сечения рассеяния в задан-

ном поле сил выражаются через совокупность фаз рассеяния l (число которых счетно: 0 , 1 ,

2 , …, но, вообще говоря, бесконечно). Следовательно, для вычисления сечения рассеяния не-

обходимо найти радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов l . Рассматривая асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно найти фазы рассеяния 0 , 1 , 2 , …, а затем по формулам (7), (8) – дифференциальное и полное сечения рассеяния.

Практическая ценность формул фазовой теории рассеяния для эффективного и полного сечения тем выше, чем меньшее число членов ряда играет существенную роль. Докажем, что для малых энергий рассеивающихся частиц это число невелико. Основная идея этого доказательства заключается в том, что частицы с большим моментом движутся в эффективном потенциале

причем если U (r) достаточно быстро спадает с расстоянием, то для достаточно больших мо-

ментов и малых энергий центробежный потенциал (второе слагаемое в (13)) может «не пустить» рассеивающиеся частицы в область действия потенциала (в области потенциала могут оказаться только малые «хвосты» волновых функций). Поэтому, фактически частицы с большими моментами не будут «чувствовать» потенциал, следовательно, не будут рассеиваться, следовательно, фазы рассеяния с такими моментами будут равны нулю и не дадут вклад в амплитуду и сечение рассеяния.

Пусть R - радиус действия потенциала. Частицы с моментом l будут «чувствовать» потенциал, если точка остановки классического движения в центробежном потенциале окажется больше R . Эта точка находится из условия

отсюда находим

46

Отсюда следует, что для фиксированной энергии потенциал будут «чувствовать» частицы с моментами l kR . Частицы с большими моментами будут иметь малые фазы рассеяния и не давать вклад в сечение. Поэтому фазовая теория рассеяния играет важную роль в исследовании рассеяния не слищком быстрых частиц. Для быстрых частиц ( kR ? 1) в суммах (6), (12) необходимо учитывать множество слагаемых и потому возможности фазовой теории снижаются.

В частности, если частицы медленные ( kR = 1) необходимо учитывать только одно слагаемое с моментом, равным нулю (или, как говорят, учитывать только s-рассеяние). В этом слу-

Из формулы (16) следует, что дифференциальное сечение рассеяние медленных частиц не зависит от угла рассеяния (является изотропным). При увеличении энергии частиц «подключается» p-рассеяние (т.е. в формуле (7) нужно учитывать первое и второе, отвечающее l 1, слагаемое),

cos ). При увеличении энергии частиц начинают играть роль фазы рассеяния более высокого порядка, и сечение становится все более асимметричным.

Введем теперь важнейшее в квантовом описании рассеяния понятие S -оператора или S - матрицы. Впервые этот оператор был введен В.Гайзенбергом в 1943 г. Асимптотический вид волновой функции задачи рассеяния (1) можно записать в следующем виде, не «привязанном» ни к какой системе координат

где n и n - единичные векторы в направлении падения и рассеяния частиц соответственно. Любая линейная комбинация функций (17) с различными векторами падения частиц n описывает также некоторый процесс рассеяния. Умножив функцию (17) на произвольные коэффициенты F(n) и проинтегрировав по всем направлениям вектора n (элемент телесного угла d ),

получим

47

Поскольку расстояние r очень велико, экспонента в первом слагаемом является сильно осциллирцющей функцией, и потому значение интеграла определяется только точками n n . Поэтому

оператором или S -матрицей. Смысл S -оператора следует из формулы (19): если направить на рассеивающий центр сходящуюся сферическую волну с какой-то угловой амплитудой F( n ) ,

которой определяется поток частиц, падающих на рассеивающий центр под разными углами (первое слагаемое в (19)), то после рассеяния мы будем иметь расходящуюся сферическую волну, причем ее угловая амплитуда будет зависеть от амплитуды падающих частиц и собственно рассеяния. Ясно, что зависимость амплитуды рассеянной волны от амплитуды падающей – линейна, и может быть, следовательно записана как результат действия некоторого оператора на

ˆ

где оператор S зависит только от рассеяния, или, другими словами, от взаимодействия рассевающихся частиц и рассеивателя, но не зависит от волновой функции падающих частиц. Это и есть S -оператор. Таким образом, S -оператор – это оператор, переводящий амплитуду падающей волны в амплитуду рассеянной.

По закону сохранения числа частиц полное количество частиц, пересекающих сферу большого радиуса в падающей волне и рассеянной волне – одинаково. Это значит, что падаю-

48

Поскольку равенство имеет место для любой амплитудной функции F , из него следует усло-

Таким образом S -оператор является унитарным оператором. Подчеркнем, что условие унитарности S -оператора является следствием сохранения числа частиц: если бы в области действия потенциала имело бы место рождение или поглощение частиц, то условие унитарности (24) нарушалось бы. (Отметим, условие унитарности S -оператора тесно связано с эрмитовостью гамильтониана рассеивающих частиц. В различных разделах теоретической физики, в которых приходится иметь дело с поглощением волн или частиц, например, в оптике, ядерной физике и др., часто вводят потенциалы, несохраняющие число частиц – это так называемые оптические потенциалы. Эти потенциалы являются комплексными и, следовательно, приводят к неэримитовости гамильтониана).

Как отмечалось выше, S -оператор зависит от взаимодействия рассевающихся частиц и рассеивателя. Если потенциальная энергия рассеивающихся частиц и рассеивателя сферически симметрична, S -оператор коммутирует с оператором орбитального момента. Это связано с тем, что потенциал в этом случае не будет изменять момент падающих частиц (в центральносимметричном поле орбитальный момент сохраняется). Или, другими словами, матрица, отвечающая S -оператору в l -представлении ( S -матрица), будет диагональной, причем на главной диагонали в матрице рассеяния, будут размещаться собственные значения S -оператора. Из унитарности S -оператора следует, что все его собственные значения имеют квадраты модулей, равные еди-

нице, и, следовательно, могут быть представлены в виде e , где l - некоторые действитель-

ные числа.

Легко видеть, что эти числа совпадают с фазовыми сдвигами радиальных волновых функций (с фазами рассеяния). Действительно, если в качестве амплитудной функции F(n) вы-

а с другой, согласно формулам (3), (6) для волновой функции задачи рассеяния имеет следующий вид

49

где l - фазы рассеяния. Из сравнения (25), (26) заключаем, что диагональные матричные эле-

менты матрицы рассеяния определяются фазами рассеяния. Таким образом, матрица рассеяния в l -представлении имеет вид

где 0 , 1 , 2 , … - фазы рассеяния с моментами 0, 1, 2, …

50