Лекции_Муравьёв

Лекция 26 Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры

Рассмотрим несколько примеров.

ˆ

Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение V (x) x . Най-

дем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора.

Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями

где n (x) - собственные функции гамильтониана невозмущенного осциллятора. Очевидно, диа-

гональные матричные элементы оператора координаты с волновыми функциями невозмущенного осциллятора (1) равны нулю для любого n . Это связано с тем, что все волновые функции стационарных состояний осциллятора обладают определенной четностью, поэтому | n (x) |2 -

функция четная, x - функция нечетная, поэтому подынтегральная функция в (1) является нечетной, и интеграл равен нулю

значений индексов - k n 1 (эти матричные элементы были вычислены на одной из предыдущих лекций), в сумме (15) представлены только два слагаемых, и поэтому эта сумма легко вычисляется. Имеем

Учитывая, что En(0) = h (n 1/ 2) и используя вычисленные ранее матричные элементы оператора координаты с невозмущенными осцилляторными функциями

найдем

26

ти точно, дополняя потенциал до полного квадрата и сводя таким образом эту задачу к сдвинутому осциллятору. Ответ будет в точности совпадать с (6). Этот результат неслучаен. Действительно, ряд теории возмущений представляет собой разложение точных уровней энергии в степенной ряд по степеням малого возмущения (в данном случае по степеням малого параметра

ляются квадратичной функцией , то первые два порядка теории возмущений должны дать точный результат. Кроме того, из этого рассуждения следует, что все поправки более высокого порядка по строго равны нулю, и, следовательно, теория возмущений справедлива для любых значений .

Найдем теперь по теории возмущений волновую функцию основного состояния возмущенного осциллятора в первом порядке теории возмущений. Используем формулу первого порядка теории возмущений для волновой функции (11) из предыдущей лекции. Поскольку матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциями отличны от нуля только в том случае, когда индексы отличаются на единицу, в сумме (11) для поправки к основному состоянию представлено одно слагаемое (если бы мы искали поправку к волновой функции любого другого состояния в формуле (11) было бы представлено только два слагаемых). Используя (4), получим

где 0(0) и 1(0) - волновые функции основного и первого возбужденного стационарных состоя-

ний невозмущенного гамильтониана.

С помощью формулы (7) легко найти вероятности различных значений четности и среднюю четность основного состояния возмущенного осциллятора. Действительно, согласно по-

27

стулатам квантовой механики вероятности различных значений четности определяются квадратами коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям оператора чет-

ности. Поскольку функция 0(0) является четной, а функция 1(0) - нечетной, то выражение (7)

является разложением волновой функции основного состояния возмущенного осциллятора по функциям с определенной четностью. Отсюда находим вероятности различных значений четности для возмущенного осциллятора в основном состоянии

Как следует из (8), сумма вероятностей различных значений четности не равна единице (отметим, что в первом порядке по параметру условие нормировки вероятностей различных значений четности выполнено: w( 1) 1, w( 1) 0 ). Этот «парадокс» связан с приближенной нор-

мировкой волновых функций, вычисленных в первом порядке теории возмущений. Учет поправки второго порядка теории возмущений для волновых функций стационарных состояний приведет к тому, что коэффициент перед функцией 0(0) будет отличаться от единицы на вели-

чину второго порядка по возмущению: 1 O(V 2 ) . Возведение этого коэффициента в квадрат даст слагаемое, пропорциональное V 2 (а также слагаемое : V 4 ), и в результате условие нормировки для вероятностей различных значений четности будет выполнено во втором порядке по возмущению.

В заключение рассмотрения этой задачи отметим, что формулу (7) можно получить и по другому: во-первых, с помощью выделения полного квадрата задача сводится к сдвинутому осциллятору. Поэтому точная волновая функция возмущенного основного состояния совпадает с волновой функцией невозмущенного осциллятора, но «привязанной» не к началу координат, а к сдвинутому положению равновесия. Первые два члена разложения этой функции в ряд Тейлора по величине сдвига и дадут функцию (7). Предлагаем проверить это всем слушателям самостоятельно.

Рассмотрим еще один пример вычисления волновой функции в рамках теории возмуще-

ний.

ˆ r

Пусть на атом водорода наложено малое возмущение V (r ) x . В рамках первого по-

рядка теории возмущений для волновой функции найти, какие значения может принимать момент импульса электрона и его проекция на ось z в основном состоянии.

28

Волновая функция основного состояния электрона в невозмущенном атоме водорода имеет вид:

трона возмущенного атома определяется соотношением (11) из предыдущей лекции, в котором сумма распространяется на все собственные состояния невозмущенного гамильтониана, кроме основного. Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос о значениях момента и проекции, найдем, какие сферические функции будут представлены в сумме (11) из предыдущей лекции. Это определяется матричными элементами оператора возмущения. Если для какого-то состоя-

ния n матричный элемент V0n равен нулю, момент и проекция, отвечающие состоянию n , не представлены в сумме (11). Тогда согласно постулатам квантовой механики эти значения момента и проекции невозможно обнаружить при измерениях в основном состоянии возмущенного атома.

Оценим матричные элементы. Для этого представим оператор возмущения в следующем

где , - полярный и азимутальный углы сферической системы координат, Y11 ( , ) и Y1 1 ( , ) - сферические функции. Поскольку все собственные функции невозмущенного оператора Гамильтона (волновые функции стационарных состояний электрона в атоме водорода) можно выбрать так, чтобы они содержали определенную сферическую функцию, причем волновая функ-

ция основного состояния - сферическую функцию Y00 (которая от углов не зависит), то матрич-

ные элементы не равны нулю только для таких состояний, которые отвечают моменту l 1 и его проекции на ось z m 1. Таким образом, разложение возмущенной волновой функции основного состояния по собственным функциям операторов квадрата момента и его проекции на ось

гласно постулатам квантовой механики заключаем, что при измерении момента импульса электрона возмущенного атома могут быть получены два значения l 0 и l 1, а при измерении проекции момента на ось z три значения m 0 , m 1 и m 1. Причем, поскольку матричные элементы и невозмущенные энергии одинаковы для состояний с m 1 и m 1 (так как ради-

29

альные части невозмущенных собственных функций и невозмущенные энергии от магнитного квантового числа не зависят), вероятности значений проекции m 1 и m 1 одинаковы.

В следующих порядках теории возмущений волновая функция основного состояния приобретает слагаемые, содержащие сферические функции, отвечающие другим значениям момента и проекции. Поэтому в возмущенном основном можно обнаружить и эти значения момента и проекции, однако вероятности этих значений будут более высокого порядка малости по возмущению.

30

30

30

Лекция 27 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра

ˆ

Рассмотрим теперь случай, когда невозмущенный оператор Гамильтона H0 имеет выро-

жденные собственные значения. Пусть, функции 1(0) , 2(0) , ..., s(0) отвечают одному и тому же собственному значению E , кратность вырождения которого, таким образом, равна s . Необхо-

димо найти поправки к собственной энергии E и собственным функциям i(0) при «включении»

ˆ

малого возмущения V . Очевидно, использование формул предыдущей лекции для одного из

состояний i(0) даже для сколь угодно малого возмущения в этом случае невозможно, поскольку знаменатели этих формул обращаются в нуль при ненулевом числителе.

Однако в этом случае существует и еще одна проблема: при наличии вырождения выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана является неоднозначным. Действитель-

j 1

будет также собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению E . Более того, легко понять, что именно с этой неоднозначностью и связаны расходимости в формулах теории возмущений без вырождения. Действительно, при наложении малого возмущения должно произойти снятие вырождения вырожденного уровня, и вместо s вырожденных состояний в спектре должны появиться s близких по энергии состояний с волновыми функциями, близкими к некоторым линейным комбинациям невозмущенных функций. Это значит, что «при выключении» возмущения эти функции перейдут в некоторые не произвольные, а вполне определенные комбинации функций 1(0) , 2(0) , ..., s(0) , которые и должны быть использованы в качестве бази-

са теории возмущений.

Главным свойством этих линейных комбинаций является то, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с этими функциям равны нулю, поэтому и расходящихся слагаемых в формулах теории возмущения не возникает, и ее можно использовать и в вырожденном случае. Таким образом, главным в рассматриваемом методе, который называется

31

теорией возмущений при наличии вырождения, является правильный выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана, на которых строится теория возмущений. Эти функции являются базисом теории возмущений и называются «правильными функциями нулевого приближения».

Докажем, что для построения правильных функций нулевого приближения необходимо

причем его решения искать в виде линейной комбинации функций, относящихся к вырожденному уровню. То есть необходимо искать решения уравнения (2) в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся к вырожденному уровню:

j 1

где суммирование распространяется на состояния рассматриваемого вырожденного уровня энергии. Решение уравнения (2) на базисе функций (3) позволит найти правильные функции нулевого приближения и новые энергии в первом порядке теории возмущений. А поскольку эти энергии могут оказаться разными, то в возмущенной задаче пропадает вырождение; как говорят в этом случае, возмущение снимает вырождение уровня. Подчеркнем, что хотя мы ищем правильные функции из возмущенного уравнения, они являются точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана, отсюда их название – «правильные функции нулевого приближения».

Для доказательства сделаем следующее. Во-первых, так как все (0)j - собственные функ-

проинтегрируем по всем координатам, от которых зависят собственные функции. В результате получим, используя ортогональность функций :

Таким образом, недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения равны нулю, и, следовательно, расходимостей в фор-

32

мулах теории возмущений не возникает, если в качестве базиса использовать правильные функции нулевого приближения.

Если умножить уравнение (4) на функцию i* и проинтегрировать, получается условие на поправку к энергии в первом порядке теории возмущений

(6)

Это значит, что так же, как и в случае отсутствия вырождения, поправка первого порядка к энергии уровня определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, но с правильными функциями нулевого приближения. Используя эти функции можно находить и поправки более высокого порядка.

Отметим, что матричные элементы возмущения между функциями (0)j и невозмущен-

ными функциями, отвечающими другим уровням энергии, вообще говоря, не равны нулю, однако в формулах теории возмущений эти матричные элементы делятся на энергетический интервал между различными уровнями энергий невозмущенной задачи, поэтому эти слагаемые для достаточно малых возмущений малы.

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Если недиагональные матричные элементы оператора возмущения с некоторыми линейно независимыми собственными функциями невозмущенной задачи, число которых равно кратности вырождения уровня, равны нулю, то эти функции и являются правильными функциями нулевого приближения. Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно.

Отметим, что несмотря на то, что по форме уравнение (2) совпадает с истинным возму-

щенным уравнением Шредингера, нахождение его решений i в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся только к рассматриваемому вырожденному уровню, представляет собой приближение, поскольку истинные решения возмущенного уравнения Шредингера выражаются в виде суммы по всем собственным функциям невозмущенного оператора Гамильтона. Условием применимости изложенного метода является условие малости матричных элементов возмущения по сравнению с энергетическими интервалами между различными энергетическими уровнями невозмущенного гамильтониана.

Подведем итоги. Для использования теории возмущений в задаче с вырождением и анализа возмущения некоторого вырожденного уровня невозмущенного гамильтониана нужно сделать следующее.

33

(1) Искать решение возмущенного уравнения Шредингера в виде линейных комбинаций невозмущенных функций 1(0) , 2(0) , ..., s(0) , относящихся к рассматриваемому уровню (с неиз-

вестными пока коэффициентами).

(2) Из возмущенного уравнения Шредингера получить систему алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов. Для этого уравнение нужно последовательно умножать на невозмущенные функции (сначала 1(0) , потом на 2(0) , ..., потом на s(0) ) и интегрировать. При этом необходимо использовать условие ортонормированности собственных функций 1(0) , 2(0) ,

..., s(0) .

(3)В результате будет получена система однородных (неизвестный коэффициент входит

вкаждое слагаемое решения) алгебраических уравнений, которая имеет решение, если ее определитель равен нулю. Вычисляя определитель системы и приравнивая его к нулю, получаем ал-

гебраическое уравнение степени s относительно неизвестного собственного значения i (это уравнение принято называть секулярным; название заимствовано из небесной механики). Можно доказать, что все s корней этого уравнения будут действительны и будут определять возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений (в некоторых случаях какие-то из корней этого уравнения могут совпадать). Таким образом, возмущения, вообще говоря, снимают вырождение уровней и приводят к возникновению близко расположенных подуровней, число которых, вообще говоря, совпадает с кратностью вырождения рассматриваемого вырожденного уровня энергии. (Попробуйте доказать, что сумма найденных таким образом энергий будет совпадать с суммой диагональных матричных элементов оператора возмущения с невозмущенными функциями).

(4) Подставляя последовательно найденные в первом порядке возмущенные уровни в си-

стему – сначала 1 , потом 2 , и т.д., нужно найти коэффициенты правильных функций нулевого приближения, отвечающих каждому подуровню. При этом поскольку коэффициенты находятся из системы однородных уравнений, однозначно найти их нельзя (однородные линейные уравнения можно решить только с точностью до множителя). Другим словами, после подстановки собственных значений в систему уравнений нужно выразить все коэффициенты через один из них, который остается свободным.

(5) Найти этот свободный коэффициент из условия нормировки правильных функций нулевого приближения.

34

После нахождения правильных функций нулевого приближения для каждого вырожденного уровня невозмущенной задачи можно находить поправки теории возмущений более высокого порядка, при этом (как отмечалось выше) расходимостей в формулах теории возмущений не возникает. Этого, однако, как правило, не приходится делать, поскольку главный эффект возмущения – снятие вырождения – находится уже в первом порядке, а все отсальное представляет собой поправки к этому эффекту.

На следующей лекции мы попробуем применить этот метод к ряду конкретных квантовомеханических задач.

35

35

35