Лекции_Муравьёв

Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Перехо-

ды в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией k , действует малое периодиче-

ское возмущение

где - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени T , так что T ? 1 (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, даже если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния n , энергия которых от-

Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения для больших значений времени действия возмущения T . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте

( n k ) / h, второе - при частоте ( k k ) / h . Или, другими словами, под действием пе-

риодического возмущения с частотой в квантовой системе происходят переходы только в со-

стояния n с энергией n k h . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от ча-

стоты возмущения достаточно рассмотреть только значения : ( n k ) / h и : ( k n ) / h

и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как 0 , первый случай отвечает переходам k n в состояния n с энергией

n , большей энергии k , второй – с меньшей. Итак, при : ( n k ) / h из (2), (3) имеем

6

Рассмотрим зависимость вероятности перехода wk n (4) от частоты возмущения при больших

Если же kn T : 1, то sin2 K в (5) может для разных T принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,

вблизи частоты, равной nk , то вероятность перехода k n , существенно превосходит вероят-

ность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния n , энергии которых определяется соотношением

n : k h , где k - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слага-

емого в (3) приводит к возможности перехода в состояния n с энергиями n : k h . Перехо-

ды в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны.

При этом, если выполняются строгие равенства n k h , вероятность перехода k n при достаточно больших T может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

7

в виде

(t) = a1 (t) 1 a2 (t) 2.

(в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой

0 ), получим

8

Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом / ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота называется частотой Раби.

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию

9

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим t .

10

10

10

Лекция 23 Системы тождественных частиц в квантовой механике. Бозоны и фермионы. Принцип запрета Паули

Согласно постулатам квантовой механики волновая функция физической системы, состоящей из нескольких частиц, определяет вероятности различных положений всех частиц системы в любой момент времени и, следовательно, должна зависеть от координат всех частиц и времени

где первый аргумент относится к первой частице, второй - ко второй и т.д., причем квадрат модуля волновой функции (1) определяет плотность вероятности того, что в момент времени t

первая частица находится в точке с координатой r1 , вторая - r2 и т.д. Отметим, что индексы у радиус-векторов в списке аргументов волновой функции (1) связаны не с номером частицы, а отмечают только разные точки пространства, номер частицы определяется местом в списке аргументов волновой функции – на первом месте те значения координат, которые может принимать координата первой частицы, на втором – второй и т.д. Если все частицы системы тождественные (например электроны, протоны или другие одинаковые частицы), то функция (1) должна удовлетворять определенным условиям симметрии относительно перестановок аргументов.. Действительно, поскольку в микромире невозможно проследить за перемещением частиц (отсутствует траектория), то такие события, как «первая частица находится в точке с коор-

динатой r1 , вторая - r2 » и «первая частица находится в точке с координатой r2 , вторая - r1 » яв-

ляются принципиально неразличимыми. Можно говорить только о том, что одна из частиц (не-

известно, какая) находится в точке с координатой r1 , а вторая - r2 . Это значит, что множество значений функции (1) для системы тождественных частиц является избыточным, поскольку ве-

определяют, фактически, одну и ту же величину. Поэтому, чтобы сохранить описание квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, с помощью волновых функций, зависящих от координат частиц, необходимо наложить на волновые функции, которыми могут описываться такие системы, дополнительные условия. Волновая функция (1) для системы тождественных частиц может быть только такой функцией, квадраты значений которой в «точке» с координа-

тами r1, r2 ,...,t и в «точке» с координатами r2 , r1,...,t должны быть одинаковыми:

11

(и аналогично для других перестановок). То есть при перестановке любых двух аргументов квадрат модуля волновой функции не должен меняться. Отсюда получаем, что волновая функция системы тождественных частиц может быть только такой функцией своих аргументов, что при перестановке двух из них ее значение, если и изменятся, то только на множитель с единичным квадратом модуля

где - действительное число. Снова переставляя первый и второй аргументы функции в правой части выражения (3), найдем

Отсюда заключаем, что ei 1 . Таким образом, тождественность частиц приводит к тому, что частицы могут описываться только функциями, которые не меняются при перестановке аргументов, либо меняют при перестановке знак. Например, система двух тождественных частиц в принципе не может описываться такой волновой функцией (x1, x2 ) sin(x1 / a)e ( x2 / b) ; волновая

функция вида (x1, x2 ) e ( x1 x2 )2 / b2 в принципе может описывать одно из возможных состояний системы. Волновые функции, не меняющие знак при перестановке аргументов, принято называть симметричными, меняющие знак, - антисимметричными.

Очевидно, никакие функции не могут быть одновременно симметричными при перестановке одних аргументов и антисимметричными - других. Действительно, пусть существует функция трех переменных, симметричная при перестановке первого-второго и второго-третьего аргументов, и антисимметричная при перестановке первого-третьего аргументов. Тогда для этой функции одновременно должны были бы выполняться условия (1,2,3) (3,2,1) и

(1,2,3) (2,1,3) (2,3,1) (3,2,1) , что приводит к бессмысленному для тождественно не равной нулю функции результату (3,2,1) (3,2,1) . То есть свойство симметрии или анти-

симметрии касается перестановки любой пары аргументов волновой функции.

Очевидно, способность описываться симметричными или антисимметричными волновыми функциями определяется природой частиц, и не зависит от их конкретного состояния. Действительно, пусть, например, возможны два состояния системы электронов - одно с симметричной волновой функцией, другое с антисимметричной. Тогда согласно принципу суперпозиции возможно и состояние-суперпозиция, волновая функция которого представляет собой

12

линейную комбинацию этих функций. Очевидно, эта волновая функция определенной симметрией по отношению к перестановкам аргументов не обладает.

Можно обобщить приведенные выше рассуждения на случай частиц со спином. Поскольку для одинаковых частиц физически тождественными являются такие события, когда первая и вторая частица «меняются» всеми своими координатами - например, «первая частица находится в точке с координатой r1 с проекцией спина sz1 , вторая находится в точке с коорди-

натой r2 с проекцией спина sz 2 » и «первая частица находится в точке с координатой r2 с проек-

цией спина sz 2 , вторая частица находится в точке с координатой r1 с проекцией спина sz1 », то волновая функция системы частиц со спином должна быть симметричной или антисимметричной при одновременной перестановке аргументов, отвечающих как пространственным, так и

А такие, например, события «первая частица находится в точке с координатой r1 с проекцией спина sz 1/ 2 , вторая - в точке с координатой r2 с проекцией спина sz 1/ 2 » и «первая ча-

стица находится в точке с координатой r2 с проекцией спина sz 1/ 2 , вторая частица - в точке с координатой r1 с проекцией спина sz 1/ 2 » физически нетождественны и могут наблюдаться с разными вероятностями. Поэтому определенной симметрией по отношению к перестановке аргументов, отвечающих только пространственным, или только спиновым координатам частиц волновые функции, вообще говоря, не обладают (однако в ряде случаев такая симметрия может иметь место).

В релятивистской квантовой теории доказывается, что частицы с целым спином ( s 0 , s 1, s 2 , ...) описываются симметричными волновыми функциями и называются бозонами, частицы с «полуцелым» спином ( s 1/ 2 , s 3/ 2 , s 5/ 2 , ...) - антисимметричными волновыми функциями и называются фермионами.

Давайте посмотрим, к каким особенностям в поведении систем тождественных частиц приводят требования симметрии волновой функции. Пусть две тождественных невзаимодействующих частицы движутся в потенциале U (x) . Найдем энергии и волновые функции стацио-

13

известны (и для простоты невырождены). И пока никак не будем учитывать спин. Оператор Гамильтона системы двух тождественных частиц имеет вид

является симметричным относительно перестановок координат и для фермионов и для бозонов, поскольку частицы тождественные. Волновые функции стационарных состояний зависят от координат обеих частиц и удовлетворяют уравнению Шредингера

Будем искать решения уравнения (9) с разделенными переменными (x1, x2 ) 1 (x1 ) 2 (x2 ) , где

1 (x) и 2 (x) - некоторые неизвестные функции одной переменной. Подставляя эту функцию в уравнение (9), получим

Первое слагаемое левой части зависит только от переменной x1 , второе - только от x2 . Поэтому,

чтобы равенство (10) выполнялось при любых значениях переменных, первое и второе слагае-

мые в левой части должны равняться некоторым постоянным. Обозначим эти постоянные 1 и

2 . Тогда уравнение (10) дает

Уравнения (11), (12) являются уравнениями на собственные значения и собственные функции гамильтониана (7), который принято называть одночастичным, а его собственные состояния - одночастичными состояниями и которые по условию задачи считаются известными. Поэтому каждая из функций 1 и 2 является одной из собственных функций n одночастичного га-

мильтониана, а числа 1 и 2 - собственными значениями n

Следовательно, решения уравнения (9) могут быть перечислены двумя целыми индексами и имеют вид

14

nk (x1, x2 ) n (x1 ) k (x2 ) Enk n k (14)

причем индексы n и k независимо друг от друга принимают все возможные для них значения. Очевидно, все уровни энергии с n k являются двукратно вырожденными: собственному значению Enk n k отвечают две различные собственные функции n (x1 ) k (x2 ) и n (x2 ) k (x1 ) (или любые их линейные комбинации). Состояния с n k являются невырожденными.

Учтем теперь тождественность частиц. Для этого потребуем, чтобы волновые функции стационарных состояний обладали определенной симметрией относительно перестановок аргументов - были бы симметричны относительно перестановок в случае бозонов, и антисиммет-

являются собственными функциями гамильтониана системы двух частиц и симметричны относительно перестановок аргументов, то есть описывают стационарные состояния системы двух тождественных бозонов. При этом все состояния не вырождены, поскольку любая другая ли-

нейная комбинация функций n (x1 ) k (x2 ) и n (x2 ) k (x1 ) в случае n k не будет симметричной

являются собственными функциями гамильтониана системы двух частиц и антисимметричны относительно перестановок аргументов, то есть описывают стационарные состояния системы двух тождественных фермионов. При этом так же как и в случае бозонов все состояния невырождены. Однако в отличие от бозонного случая здесь невозможны состояния, в которых оба фермиона находятся в одинаковых стационарных состояниях одночастичного гамильтониана ( n k ), поскольку в этом случае функция (17) тождественно равна нулю (более точную формулировку этого утверждения, учитывающую наличие спина у фермиона см. ниже).

Проведенное рассмотрение имеет буквальный смысл для бозонов с s 0 . Для бозонов с s 0 и для фермионов (спин которых является полуцелым и потому всегда больше нуля) необходимо включить в рассмотрение спин.

Построим теперь волновые функцию стационарного состояния (x1, x2 , x3 ) системы трех

15