Лекции_Муравьёв

(где A - постоянная). Что можно сказать о результатах измерения энергии частицы в момент времени t t0 ? Какой будет средняя энергия частицы как функция времени?

Согласно основным принципам квантовой механики для ответа на вопросы такого рода нужно разложить волновую функцию частицы по собственным функциям оператора Гамильтона. Пользуясь известной тригонометрической формулой, представим начальную волновую функцию частицы в виде

Формула (9) представляет собой разложение начальной волновой функции по собственным функциям оператора Гамильтона, в котором, таким образом, с равными весами представлены только третья и тринадцатая собственные функции; коэффициенты перед остальными собствен-

Так как гамильтониан не зависит от времени, то вероятности различных значений энергии и средняя энергия от времени не зависят, и, следовательно, останутся такими же в любой момент времени.

Можно решать и обратные задачи – т.е. по результатам измерения энергий восстанавливать волновую функцию, а по ней находить вероятности возможных значений различных наблюдаемых и их средние значения. Например.

Энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, может при-

с вероятностями w1 и w3 соответственно. Будет ли среднее значение координаты частицы x в

этом состоянии зависеть от времени?

41

Будем рассуждать так. Поскольку гамильтониан частицы не зависит от времени, общее решение временного уравнения Шредингера имеет вид

n

где En и fn (x) - собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, Cn -

произвольные постоянные. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы может принимать два значения E1 и E3 , то в сумме (1) присутствуют два слагаемых, отвечающие пер-

вому и третьему собственным состояниям, а остальные коэффициенты Cn равны нулю. То есть волновая функция частицы в любые моменты времени имеет вид

не менее, эта неоднозначность не помешает однозначно ответить на вопрос задачи). Состояние (14) не является стационарным, поэтому средние значения физических величин в этом состоянии, вообще говоря, зависят от времени. Среднее значение координаты частицы в состоянии (14) можно найти по квантовомеханической формуле для средних

x(t) a * (x,t)x (x,t)dx

(в (15) использована действительность собственных функций). Интегралы в первом и втором слагаемом определяют среднее значение координаты в первом и третьем стационарных состояниях и, следовательно, равны a / 2 (это утверждение проверяется с помощью непосредственного вычисления интегралов с использованием собственных функций fn (x) ). Так как волновые функции стационарных состояний f1 (x) и f3 (x) четны относительно середины ямы и ортого-

нальны, то интегралы в третьем и четвертом слагаемом равны нулю. Учитывая, что w1 w3 1,

получим из (3)

42

То есть среднее значение координаты в данном нестационарном состоянии не зависит от времени. Однако, если бы в разложении начальной волновой функции частицы по собственным функциям гамильтониана содержались бы слагаемые, отвечающие как четным, так и нечетным стационарным состояниям, перекрестные слагаемые в равенстве (15) не обращались бы в нуль и среднее значение координаты частицы зависело бы от времени.

Рассмотрим еще один пример. Пусть волновая функция частица в яме в момент времени

n 1

где Cn - коэффициенты разложения, которые согласно основным принципам квантовой механи-

ки и определяют вероятности различных значений энергии. Поскольку собственные функции fn (x) - ортонормированны, коэффициенты Cn можно найти, умножая равенство (18) на соб-

ственную функцию и интегрируя

Поскольку волновая функция частицы – четна относительно центра ямы (это парабола, обра-

щающаяся в нуль на границах ямы), функции fn (x) - четны для нечетных номеров, и нечетны для четных, то интеграл (19) будет отличен от нуля только для нечетных номеров. Следовательно, при измерении энергии в рассматриваемом состоянии можно обнаружить первое (отвечающее основному состоянию), третье, пятое, седьмое и т.д. собственные значения. Второе, четвертое, шестое и т.д. собственные значения при измерениях в рассматриваемом состоянии невозможно.

43

Лекция 9 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение в виде ряда)

Одномерным гармоническим осциллятором называется частица, движущаяся в потенциале

U (x) m 2 x2 / 2 , где m - масса частицы, - число, имеющее размерность сек-1 (в случае клас-

сического движения частицы в указанном потенциале величина имела бы смысл круговой частота колебаний частицы). Найдем волновые функции и энергии стационарных состояний ос-

Необходимо найти такие значения (и, следовательно, E ), при которых уравнение (3) имеет конечные при всех решения и сами эти решения. Перейдем к новой неизвестной функции u( ) :

k 0

где Ck - неизвестные коэффициенты. Подставляя ряд (6) в уравнение (5), получим

44

Меняя в первом слагаемом индекс суммирования k k 2 и собирая одинаковые степени ,

найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (6)

Таким образом, чтобы ряд (6) определял решение уравнения (5) его коэффициенты должны быть связаны рекуррентным соотношением (8). При этом, поскольку соотношение (8) связывает

Ck и Ck 2 , оно связывает отдельно четные и нечетные коэффициенты. Поэтому C0 и C1 могут быть выбраны произвольно (заметим, что отсюда следует, что ряд (6), (8) определяет общее ре-

шение уравнения (3)). В частности, ряды с C0 1 и C1 0 (то есть ряд по четным степеням ) и

C0 0 и C1 1 (то есть ряд по нечетным степеням) определяют два линейно независимых част-

ных решения уравнения (5)).

Чтобы понять, какой функции отвечает ряд Тейлора (6), (8), рассмотрим соотношение (8) при больших k . Для больших k рекуррентное соотношение (8) имеет вид (мы пренебрегли чис-

Соотношение (9) для четных индексов отвечает разложению в ряд Тейлора функции exp 2 и

- для нечетных. Это значит, что при больших (при которых сумма ряда (5) опреде-

ляется слагаемыми c большими k ) оба частных решения уравнения (5) содержат экспоненту exp 2 . Поэтому соответствующие частные решения уравнения (1) f ( ) расходятся при

.

Однако при некоторых значениях энергии ряд (6) обрывается, и все коэффициенты, начиная с некоторого, равны нулю. Действительно, из (7) следует, что если 2n 1, где n - лю-

бое целое неотрицательное число (или E h (n 1/ 2) ), то коэффициент Cn 2 обращается в нуль. Очевидно, в этом случае будут равны нулю и коэффициенты Cn 4 , Cn 6 , ... . Поэтому в этом случае ряд (6) содержит конечное число слагаемых той же четности, что и слагаемое Cn n ..

Таким образом, если 2n 1, то одно из частных решений уравнения (5) сводится к много-

члену определенной четности, а не к функции exp 2 , и, следовательно, соответствующее

45

при переходе от нулевого коэффициента ко второму. То есть в этом случае коэффициент C2 0 .

Ряд же по нечетным степеням при таком значении E не обрывается, и потому его нужно сде-

и т.д.

Отметим, что из приведенных выше рассуждений буквально не следует, что перечисленные собственные решения исчерпывают все собственные значения и собственные функции уравнения (1). Действительно, так как линейная комбинация двух неограниченно возрастающих функций может, вообще говоря, расходиться гораздо медленнее каждой функции, то можно было бы ожидать, что при некоторых значениях E h (n 1/ 2) определенная линейная комбина-

ция четного и нечетного частных решений уравнения (4) будет расходится медленнее, чем exp 2 / 2 , и, следовательно, такие значения E будут собственными значениями уравнения (1).

Это, однако, невозможно одновременно как на , так и на . Предлагаем слушателям доказать это утверждение самостоятельно при домашней подготовке к следующей лекции.

Таким образом, собственные значения и собственные функции осциллятора имеют вид

En h (n 1/ 2) fn ( ) An Hn ( )exp 2 / 2 n 0,1,2,... (13)

46

где Hn ( ) - многочлены n -ой степени, которые называются полиномами Эрмита. При принятой в математике нормировке полиномы Эрмита отличаются множителями от многочленов (10)- (12), а постоянные An равны

Как следует из проведенного выше вывода, полиномы Эрмита с четными индексами содержат только четные степени , с нечетными - нечетные. Это значит, что собственные функции, отве-

чающие четным уровням энергии (нулевому, второму и т.д.) являются четными функциями координаты, нечетным уровням (первому, третьему и т.д.) - нечетными. Этот вывод согласуется с общим утверждением о четности собственных функций оператора Гамильтона в случае четной потенциальной энергии.

Приведем в заключение несколько нормированных собственных функций одномерного

Знание собственных значений и собственных функций гамильтониана гармонического осциллятора (13) позволяет находить вероятности различных значений энергии осциллятора и его среднюю энергию в любых состояниях, а также строить все возможные волновые функции осциллятора в любые моменты времени. Например. Пусть в момент времени t 0 нормированная волновая функция гармонического осциллятора имеет вид

Какие значения может принимать энергия осциллятора в последующие моменты времени и с какими вероятностями? Найти среднюю энергию гармонического осциллятора как функцию времени. Какова средняя четность указанного состояния осциллятора? Как средняя четность зависит от времени?

Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени, вероятности различных значений энергии осциллятора в любом состоянии не зависят от времени. Поэтому достаточно вы-

47

числить вероятности различных значений энергии и среднюю энергию осциллятора в момент времени t 0 . Чтобы найти эти величины для осциллятора в рассматриваемом состоянии разложим начальную волновую функцию этого состояния по собственным функциям оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Так как данная в условии задачи волновая функ-

ция представляет собой произведение многочлена второй степени на exp 2 / 2 , то в разложе-

нии могут быть представлены только нулевая, первая и вторая собственные функции гамильтониана осциллятора. Используя явные выражения для трех первых собственных функций осциллятора (16)-(18), легко найти

Поэтому энергия осциллятора, находящегося в рассматриваемом состоянии может принимать значения E0 h / 2 , E1 3h / 2 и E2 5h / 2 с вероятностями w0 1/ 5, w1 2 / 5, w2 2 / 5 .. Среднюю энергию осциллятора найдем по формуле теории вероятностей для математического ожидания

Так как собственные функции оператора Гамильтона f0 ( ) и f2 ( ) являются четными, то они являются и собственными функциями оператора четности, отвечающими собственному значе-

нию p 1, f1 ( ) - собственной функцией оператора четности, отвечающей собственному зна-

чению p 1. Поэтому вероятность обнаружить четность рассматриваемого состояния осцил-

лятора, равную +1, есть w 3/ 5 , равную -1, - w 2 / 5 . Отсюда найдем, что средняя четность рассматриваемого состояния равна

Разумеется, вычисление средней четности данного состояния по квантовомеханической формуле приводит к тому же результату. Предоставляем слушателям самостоятельно в этом убедиться. Вероятности различных значений четности и средняя четность от времени не зависят, так как оператор Гамильтона и оператор четности коммутируют.

В том, что средняя четность не зависит от времени можно убедиться и непосредственно. Для этого нужно построить волновую функцию осциллятора в любые моменты времени по начальной волновой функции (20) (используя формулу для общего решения временного уравне-

48

ния Шредингера) а затем вычислить среднюю четность по квантовомеханической формуле для средних. Предлагаем слушателям проделать эти вычисления самостоятельно.

49

Лекция 10 Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью

операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Вопервых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

ˆ

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора H , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

50