ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
242 |
рекомбінації у прямозонному напівпровіднику рекомбінують вільна дірка з вільним електроном, імпульси яких майже однакові (відрізняються на імпульс випроміненого фотона). У випадку непрямозонного напівпровідника для виконання законів збереження необхідний додатковий агент події рекомбінації, оскільки закон збереження імпульсу вимагає його значної зміни. Таким агентом виступає фонон. Отже, закони збереження енергії та імпульсу за міжзонної випромінювальній рекомбінації у непрямозонному напівпровіднику матимуть вигляд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
= |
E(k) |
+ |
E |
, |
E |
= ω+ ω |
|
|
E (k ) |
|
|
|
|
фон. |
(10.7) |
|
k′ = k + |
p , |
p = |
kфот. + kфон., |
kфот. << k′ |
|
|
Ймовірність процесу із трьома частинками є значно меншою за ймовірність двочастинкового процесу. Із цієї причини міжзонна рекомбінація проходить ефективно у прямозонних напівпровідниках і дає дуже незначний внесок до рекомбінаційних процесів у непрямозонних напівпровідниках, де важливішою є рекомбінація через домішкові центри. Якщо ширина забороненої зони перевищує 0,5 eВ, то в таких речовинах рекомбінація зазвичай відбувається через локалізовані стани, які називаються рекомбінаційними пастками. Щодо рекомбінації через пастки необхідно зазначити два важливих аспекти:
захоплюючись із зони провідності через пастку, електрон передає своєму оточенню меншу енергію, ніж якби він безпосередньо переходив до валентної зони. За таких обставин ймовірність першого процесу може бути істотно вищою, ніж другого;
при захоплюванні носія на пастці виконання закону збереження імпульсу не є обов'язковим, оскільки носії, що потрапляють до області сильної неоднорідності поля, не знаходяться в умовах просторової однорідності, де збереження імпульсу є обов'язковим. Це значно спрощує виконання умови збереження енергії і тим самим збільшує ймовірність процесу рекомбінації через пастки.
У ролі рекомбінаційних пасток можуть виступати мілкі та глибокі рівні, при цьому процеси рекомбінації через пастки можуть відбуватись принципово по-різному. Дійсно, електронний стан на воднеподібному (мілкому) домішковому рівні характеризується досить сильною делокалізацією. Тому із принципу невизначеності імпульс такого електрона буде визначений досить точно. Цей факт на зонній діаграмі подано коротким відрізком на рівні Ed (рис. 10.4). Таким чином, процеси
рекомбінації через мілкі рівні ефективно проходитимуть у прямозонних напівпровідниках. Для глибоких рівнів (EM на рис. 10.4), що харак-
теризуються сильною локалізацією електронів (тобто точним визначенням координати), імпульс має широкі межі невизначеності, до яких можуть потрапляти значення дефіциту імпульсу при переході електрона із зони провідності до валентної зони. Таким чином ймовірність
243 |
Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ… |
процесу рекомбінації через глибокі рівні у непрямозонному напівпровіднику буде набагато більшою, ніж через мілкі. Якісні аспекти процесів генерації і рекомбінації носіїв потребують визначення поведінки кількісних характеристик таких процесів. Основними кількісними характеристиками генераційно-рекомбінаційних процесів є концентрація та час життя надлишкових нерівноважних носіїв заряду.
Рис. 10.4. Рекомбінація через мілкі та глибокі рівні:
a – у прямозонному, б – у непрямозонному напівпровіднику.
Зеленим позначено делокалізовані мілкі рівні, чорним – сильно локалізовані глибокі рівні
10.3. Кінетика генерації і рекомбінації носіїв заряду у напівпровідниках
Як зазначалося, генераційно-рекомбінаційні процеси, що можуть відбуватись у напівпровідниках, спричиняють виникнення або зникнення носіїв у валентній зоні та зоні провідності – виникає додаткова концентрація електронів і дірок, що відрізняється від рівноважної. Якщо концентрація електронів і дірок відрізняється від рівноважної, то кажуть, що в напівпровіднику є надлишкова концентрація носіїв δn(r, t) = n(r, t) – n0(r), яка може виникати, наприклад при появі у напівпровіднику додаткової пари вільних носіїв. У такому випадку відбувається генерація носіїв заряду, яка може бути спричинена дією зовнішніх або внутрішніх факторів. Процес генерації носіїв можна характеризувати швидкістю зміни концентрації завдяки дії зовнішніх (gE) і
внутрішніх (gI) факторів. Разом із тим у напівпровіднику можуть відбуватись і зворотні процеси зникнення носіїв заряду. У цьому випадку
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
244 |
кажуть, що відбувається рекомбінація носіїв заряду. Процеси рекомбінації також можна характеризувати швидкістю зміни концентрації носіїв завдяки дії зовнішніх (rE) і внутрішніх (rI) причин. Таким чином,
можна записати рівняння неперервності для електронів і дірок
∂n = −diν(j /e |
n |
)+G(n ) −R(n ) , |
(10.8) |
∂t |
n |
|
|
|
|
|
|
∂p |
= −diν(jp/ep )+G(p) −R(p) , |
(10.9) |
∂t |
|
|
|
|
де |
G = gE − rE , |
|
R =rI − gI . |
(10.10) |
У напівпровіднику в адіабатичних умовах, коли зовнішні фактори не впливають на генераційно-рекомбінаційні процеси (тобто коли gE = rE = 0) за відсутності струму
|
∂n |
= −R . |
(10.11) |
|
∂t |
|
Звідси у стаціонарних умовах, коли ∂n/∂t = 0, R = 0 або |
|
|
g1 = r1, |
(10.12) |
тобто процеси генерації і рекомбінації взаємно компенсують один одного. Обидва процеси у цьому випадку відбуваються завдяки дії тільки внутрішніх факторів, основним з яких є взаємодія носіїв із коливаннями ґратки. Маємо рівноважні значення концентрації елек-
тронів і дірок. Якщо ж R ≠ 0, рівняння (10.11) описує процес релаксації концентрації до рівноважної. Для розв'язку (10.11) припустимо, що існує
деяка стала величина 1/τf, яка дорівнює ймовірності рекомбінації
одного вільного носія за одиницю часу в одиниці об'єму, тобто за одиницю часу рекомбінують
|
R |
= |
n −n0 |
(10.13) |
|
τf |
|
частинок. За цього припущення (10.11) набуде вигляду |
|
|
∂n |
= −n −n0 , |
(10.14) |
|
∂t |
|
τf |
|
звідки отримуємо |
n(t)−n0 = [n(0)−n0 ]e−t/τf . |
(10.15) |
Після припинення дії факторів, що спричиняють генерацію носіїв (при t = 0), нерівноважний стан релаксує до рівноважного із часом τf.
Останній має прозорий фізичний смисл: він є часом життя нерівноважних носіїв заряду. Оскільки рівноважний стан може бути порушений як для електронів, так і для дірок, то рівняння типу(10.15) мають
245 |
Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ… |
місце як для електронів, так і для дірок. (Зрозуміло, що часи життя для електронів і дірок можуть не збігатися.)
Якщо швидкість зміни концентрації нерівноважних носіїв пропорційна до їхньої концентрації, то рекомбінація називається лінійною. За такої рекомбінації перехід носія від вільного стану до зв'я- заного відбувається незалежно від наявності надлишкової концентрації носіїв протилежного знаку. Якщо ж відбувається пряме з'є д- нання електрона з діркою, то в одному акті рекомбінації зникають електрон разом із діркою. У такому випадку швидкості зміни концентрації електронів і дірок дорівнюють одна одній і пропорційні добутку їхніх концентрацій
|
|
R = γ(np −n0 p0 ), |
(10.16) |
звідки |
∂n |
= |
∂p |
= −γ(np −n0 p0 ). |
(10.17) |
|
∂t |
|
∂t |
|
|
Коефіцієнт γ визначає швидкість процесів генерації електрон-діркових пар і, як буде показано далі, час життя нерівноважних носіїв заряду. Вважаючи, що n = n0 + δn і p = p0 + δp, із (10.17) маємо
∂n |
= |
∂p |
= −γ(n0δp + p0δn + δnδp). |
(10.18) |
∂t |
|
∂t |
|
|
Якщо відхилення від рівноважної концентрації носіїв невелике, тобто виконується нерівність
|
|
δnδp <<n0δp + p0δn , |
|
(10.19) |
|
то для електронного напівпровідника, де p0 << n0, маємо із (10.18) |
|
|
|
∂n |
= ∂p = −γn0δp . |
|
|
(10.20) |
|
|
∂t |
∂t |
|
|
|
|
Розв'язуючи це рівняння, отримуємо |
|
|
|
|
|
δp(t)= δp(0)e−t/τf , |
|
|
(10.21) |
|
де |
δp(0)= p(0)− p0 , τf = |
1 |
, |
(10.22) |
|
n0γ |
|
|
|
|
|
|
тобто надлишкова концентрація неосновних носіїв зменшується (або збільшується, якщо δp(0) < 0) за експоненціальним законом із характерним часом τf. Цей час є часом життя нерівноважних носіїв, ви-
значається рівноважною концентрацією носіїв і сталою γ. Для визначення фізичного сенсу коефіцієнту γ зауважимо, що кожен нерівноважний носій заряду, наприклад електрон, що бере участь у тепловому русі, характеризується деякою ймовірністю зустрічі із діркою та ре-
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
246 |
комбінування з нею. Очевидно, що ймовірність зустрічі електрона із діркою буде пропорційною до концентрації дірок і середньої відносної швидкості руху електронів і дірок – νn. Якщо ввести поняття про п е-
реріз захоплювання (рекомбінації) qn електрона, то середній час між двома можливими зустрічами електрона із діркою τn = 1/qnνnp. Таким чином, величина qnνnp визначає число можливих зіткнень одного не-
рівноважного електрона із дірками за одиницю часу, тобто інтенси в- ність рекомбінації є числом актів рекомбінації (захоплювання) за одиницю часу в одиничному об'ємі напівпровідника. Домножимо це число на концентрацію електронів й усереднимо qnνn. У результаті
отримаємо |
інтенсивність рекомбінації електронів n/τn = |
qnνn |
p n . |
Аналогічно |
можна записати ймовірність рекомбінації для дірок |
p/τp = qpνpn p . Добуток перерізу на швидкість, усереднений за всіма носіям у зоні (γn = qnνn та γp = qpνp ), називається коефіцієнтом реко-
мбінації та являє собою інтенсивність рекомбінації, коли концентрації n і ∆p дорівнюють одиниці. Підставимо розв'язок (10.21) до (10.20). Маємо
∂n = −γn0δp(0)e−t/τf . |
(10.23) |
∂t |
|
Безпосереднє інтегрування цього рівняння дає |
|
δn(t)= γn0δp(0)τf e−t/τf +C . |
(10.24) |
Для визначення константи інтегрування зауважимо, що у початковий момент часу
З іншого боку при t → ∞ δp = 0, тобто із (10.24) маємо C = 0. Тоді, зважаючи на визначення (10.22), отримуємо
δn(t)= δp(0)e−t/τf . |
(10.26) |
Таким чином, за міжзонної рекомбінації у випадку невеликих значень надлишкової концентрації носіїв відхилення від рівноважного значення концентрацій електронів і дірок однакові та змінюються згідно з експоненціальним законом з однаковим часом життя в нерівноважному стані τf.
У протилежному випадку, коли надлишкова концентрація є значною, тобто
247 |
Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ… |
маємо |
|
∂n |
= −γδnδp . |
(10.28) |
|
∂t |
|
|
|
|
|
За припущення, що δn = δp, запишемо (10.28) у вигляді |
|
|
dδn |
|
1 |
= −γ dt . |
(10.29) |
|
|
2 |
|
|
|
(δn) |
|
Звідси отримаємо
При t = 0 C = 1/δn(0). Тоді
1 |
= γ t +C . |
|
(10.30) |
|
δn(t) |
|
|
|
|
|
δn(t)= |
δn(0) |
, |
(10.31) |
1+ γδn(0)t |
тобто за квадратичної рекомбінації велика надлишкова концентрація носіїв зменшується за гіперболічним законом. За зменшення надлишкової концентрації (коли умови δn >> (n0, p0) порушуються) гіперболічний закон переходить в експоненціальний.
Розглянемо тепер однорідний напівпровідник, в якому існує генерація під дією зовнішнього збудження G = gE − rE. За відсутності струму
рівняння неперервності має вигляд
Вважатимемо, що G не залежить від часу. Тоді у стаціонарному стані
Як було показано вище, у випадку лінійної рекомбінації R = (n − n0)/τf. Це означає, що у стаціонарному стані
|
G = |
n −n |
0 . |
(10.34) |
|
τf |
Звідси |
δnst =Gτf , |
(10.35) |
і як результат знайдемо, що стаціонарний час життя нерівноважних носіїв дорівнює відношенню стаціонарного значення надлишкової концентрації до швидкості генерації:
Для квадратичної рекомбінації (при δn >> n0, p0 ) швидкість генерації носіїв у стаціонарному випадку G = γ(δnst)2, звідки надлишок концентрації носіїв δns t = 
G/γ , а часом життя стаціонарної надлишкової концентрації носіїв є
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
248 |
У випадку, коли процес нестаціонарний, із (10.32) маємо
Запишемо R = (n − n0)/τf, тоді із (10.37) отримуємо
|
τf (t)= |
n −n0 |
. |
(10.39) |
|
G −(∂n/∂t) |
|
|
|
|
Якщо час τf не залежить від надлишкової концентрації, то у (10.39) змінні розділяються
|
d(n −n0 ) |
= − |
dt |
, |
(10.40) |
|
(n −n0 )−Gτf |
τf |
і можна виконати інтегрування: δn(t) – Cτf = C e−t/τf . Враховуючи початкову умову δn(0) = 0, знайдемо константу інтегрування C = –Gτf. Як результат отримуємо
δn(t)=Gτf (1−e−t/τf ) . |
(10.41) |
Нехай генерація носіїв заряду відбувається завдяки освітленню зразка світлом з енергію квантів, більшою за ширину забороненої зони напівпровідника. Тоді, якщо через деякий час після початку освітлення
(t >> τf ) генерацію носіїв вимкнути, релаксація відбуватиметься за простим законом, який ми вже розглядали,
δn(t)= δn(t0 )e−t/τf , |
(10.42) |
I |
T >> τf |
a |
|
|
I0 |
|
|
δn |
|
t |
|
|
|
|
б |
δn(t0) |
|
|
|
t0 |
t |
|
|
Рис. 10.3. Релаксація надлишкової
концентрації носіїв заряду δn (б)
за генерації електронно-діркових пар прямокутними світловими імпульсами
тривалістю Т та інтенсивністю І0 (а)
де δn(t0) просто визначається із (10.41) як насичена надлишкова концентрація носіїв. На рис. 10.3 показано, як змінюється надлишкова концентрація носіїв із часом, якщо вона утворюється прямокутними світловими імпульсами. Вважається, що тривалість імпульсів засвічування та затемнення набагато більша за час життя нерівноважних носіїв. Видно, що під дією світла відбувається і н- тенсивна генерація надлишкових носіїв таким чином, що до моменту вимкнення освітлення при t = t0 надлишкова концентрація носіїв за-
249 |
Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ… |
ряду дорівнює δn(t0). Після вимкнення освітлення процеси генерації носіїв припиняються і відбувається лише рекомбінація таким чином, що концентрація носіїв зменшується за законом (10.42) із характерним часом τf (часом життя нерівноважних носіїв).
У випадку квадратичної рекомбінації рівняння неперервності дає
∂n |
2 |
|
∂t |
=G − γ(δn) |
(10.43) |
|
|
і допускає безпосереднє інтегрування, оскільки в ньому змінні розділяються. Маємо
|
t = |
|
1 |
|
ln |
|
G/γ |
|
+(n −n0 ) |
+C . |
(10.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Gγ |
G/γ −(n −n0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
Для визначення константи інтегрування згадаймо, що оскільки при t = 0 концентрація носіїв n = n0, то C = 0. Таким чином із (10.44) отримуємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G/γ |
|
+(n −n0 ) |
|
2 |
|
|
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
Gγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(n −n0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G/γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
t −1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δn(t)= |
|
|
Gγ |
|
th |
|
|
t . |
|
|
звідки |
G |
G |
(10.45) |
|
|
Gγ |
|
|
|
|
|
γ e2 |
Gγ t +1 |
γ |
|
|
Для малих часів, коли t <<1/ |
|
|
, отримуємо |
|
|
Gγ |
|
|
|
δn ≈ |
|
|
|
|
|
t =Gt . |
|
|
|
G/γ |
Gγ |
(10.46) |
|
У протилежному випадку великих часів (t >>1/ |
|
) маємо |
|
|
Gγ |
|
|
|
|
|
|
δn ≈ |
|
= δnst . |
|
|
|
|
|
|
G/γ |
(10.47) |
Таким чином, за квадратичної рекомбінації носіїв заряду у напівпровіднику, якщо збудження, що викликає генерацію носіїв, вимкнути в деякий момент часу у стаціонарному стані, то релаксація надлишкової концентрації відбуватиметься згідно із гіперболічним законом (10.31), де початковим значенням надлишкової концентрації буде її значення у
стаціонарному стані δn(0)= 
G/γ
|
δnst |
|
δn(t)= |
1+ γδnstt . |
(10.48) |
r = γenp = np r0 . ni2
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ
Поведінку δn(t) за квадратичної ре-
комбінації подано на рис. 10.6. Генерація носіїв вимкнена в момент часу t0, коли
надлишкова концентрація носіїв досягла її значення у стаціонарному стані. Таким чином бачимо, що чим меншою є величина γ, тим швидше зростає надлишкова концентрація носіїв і тим повільніше ця концентрація релаксує до рівноважного значення при вимиканні генерації.
250 |
δn |
δnst |
t |
t0 |
Рис. 10.6. Релаксація надлишкової |
концентрації носіїв до рівноважної |
в умовах квадратичної рекомбінації |
10.3.1. Міжзонна випромінювальна рекомбінація
Розглянемо освітлений напівпровідник у стані термодинамічної рівноваги: є електрони із рівноважною концентрацією n0 і дірки з рівноважною концентрацією p0 та чорне (рівноважне) випромінювання. Згідно із принципом детальної рівноваги темп рівноважної випромінювальної рекомбінації r0 має дорівнювати темпу оптичної генерації пар g0, що зумовлена поглинанням рівноважних фотонів, тобто
З іншого боку, оскільки процес прямої міжзонної рекомбінації є квадратичним, то можна записати
γen0 p0 = γeni2 . |
(10.50) |
Тут коефіцієнт γe описує ймовірність захоплювання носіїв із випро-
мінюванням фотона та називається коефіцієнтом випромінювальної рекомбінації. Зрозуміло, що
Оскільки у зоні провідності та валентній зоні нерівноважні й рівноважні носії не можна розрізнити, то в нерівноважних умовах випромінювальна рекомбінація визначається тим самим коефіцієнтом, що і в рівноважних. Тоді швидкістю випромінювальної рекомбінації в нерівноважних умовах є
(10.52)
Враховуючи той факт, що ці часи для електронів і дірок мають дорівнювати одне одному, введемо час життя нерівноважних носіїв як
τ |
= τ |
p |
= δn |
, R =r −g |
0 |
(10.53) |
n |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
251 |
Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ… |
або, беручи до уваги (10.52),
τn = τp = |
|
δnni2 |
|
. |
r |
(np −n2 |
) |
0 |
i |
|
|
Врахуємо тепер, що n = n0 + δn, p = p0 + δp та ni2 =n0 p0 отримаємо
1 |
|
|
|
ni2 |
|
|
. |
τn = τp = |
|
|
|
|
|
|
|
r |
n |
0 |
(δp/δn)+ p |
0 |
+ δp |
0 |
|
|
|
|
|
(10.54)
та із (10.54)
(10.55)
Якщо і генерація, і рекомбінація носіїв відбуваються тільки згідно із прямим міжзонним механізмом (без участі центрів рекомбінації будь-якої природи), то δn =δp і (10.55) набуде такого вигляду
1 |
|
|
|
ni2 |
|
. |
|
τn = τp = |
|
|
|
|
|
|
|
(10.56) |
r |
|
n |
0 |
+ p |
0 |
+ δn |
0 |
|
|
|
|
|
|
У випадку слабкого рівня інжекції носіїв δn << n0 + p0, із (10.56) знайдемо
τ |
= |
|
1 |
|
|
ni2 |
|
. |
(10.57) |
n |
|
r n |
0 |
+ p |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Звідси отримуємо:
для напівпровідника n-типу (n0 >> p0)
τ = |
|
1 |
ni2 |
= |
1 |
|
, |
(10.58) |
n |
r n |
0 |
|
γ |
n |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
для напівпровідника р-типу |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
τ |
p |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
(10.59) |
|
|
|
γe p0 |
|
|
|
|
У випадку великого рівня інжекції (δn >> n0, p0) часи релаксації носіїв у напівпровідниках n- та р-типів збігаються
τ |
|
= τ = |
1 |
. |
(10.60) |
|
p |
n |
γeδn |
|
Таким чином, можна зробити висновки, що
тільки за малих рівнів інжекції випромінювальний час релаксації (час життя нерівноважних носіїв) залежить від ступеня легування напівпровідника (тобто, від n0 та p0);
зі збільшенням ступеня легування величина випромінювального часу життя зменшується;
у власному напівпровіднику, де n0 = p0 = ni, час життя нерівн о- важних носіїв пропорційний до рівноважної концентрації носіїв
