OFP-Tretyak-Lozovski

тобто для обчислення щільності станів за (8.73) потрібно обчислити інтеграл типу

Зауважимо, що при ε < 0 цей інтеграл тотожно дорівнює нулю. У в и- падку, коли ε > 0 скористаємось відомими властивостями δ-функції

Оскільки аргумент δ-функції у другому доданку підінтегральної функ- ції в (8.77) може дорівнювати нулю лише при x < 0, а в першому доданку

– при x > 0, то можна зняти інтегрування, використавши властивості δ-функції,

із вимоги ε ≥ 0 знайдемо значення верхньої межі індексу підсумовування n(E)

Підставляємо визначення (8.80) до (8.79). Із врахуванням нерівності (8.81) маємо із (8.73)

Але ця формула не може вважатися остаточною, оскільки вона не враховує, що за зменшення магнітного поля до нуля має виконуватись граничний перехід

Для виконання граничного переходу домножимо праву частину у (8.82) на деяку функцію магнітного поля g(B) і запишемо щільність станів у вигляді

ν

NB (E )= ∑NB(n )(E ), (8.84) n=0

Для визначення функції g(B) зауважимо: оскільки ω0 B, при B→0

число ν для будь-якого обмеженого значення енергії прямує до нескінченності (див. (8.81)). Це означає, що за зменшення поля відстань між рівнями зменшується так, що від підсумовування в (8.84) можна перейти до інтегрування

Для обмеження граничного значення (8.87) необхідно припустити, що g(B) = G ω0. Константу G знайдемо із (8.83)

Таким чином, щільність станів електронів напівпровідника в магнітному полі має вигляд

8.4. Концентрація носіїв заряду.

Вироджені та невироджені напівпровідники

Як обговорювалось вище, концентрацію електронів у зоні провідності можна виразити через щільність станів і функцію розподілу. Таким чином,

Підставимо сюди щільність станів для еліпсоїдальних ізоенергетичних поверхонь

Хоча (8.94) виведена для станів, енергія яких незначно перевищує енергію дна зони провідності, її можна використовувати при обчисленні концентрації електронів у напівпровіднику, оскільки функція розподілу Фермі швидко зменшується зі зростанням енергії, тобто внесок до загальної концентрації електронів від електронів з енергією, більшою за EC, незначний. Підставимо до (8.93) вирази для щільності станів (8.94) і функцію розподілу Фермі–Дірака (8.12). У результаті маємо

то концентрація електронів визначатиметься такою формулою

Тут NC – ефективне число станів у зоні провідності, а Φ1/2(ξ) – інтеграл Фермі порядку 1/2.

Знайдемо тепер концентрацію вільних дірок у валентній зоні. Оскільки дірки у ній з'являють ся внаслідок того, що електрони при переході до зони провідності залишають незайняті електронні стани (розглядаються як такі, що заповнюються іншими квазічастинками – дірками), то щільність розподілу станів біля стелі валентної зони можна визначити як різницю між повною щільністю розподілу станів (одиницею) і щільністю розподілу станів, що заповнені електронами,

−∞

Тут нижню межу інтегрування розширено до –∞, оскільки функція розподілу дуже швидко прямує до нуля за зменшення енергії. Введемо безрозмірні змінні

Отже, концентрація електронів і дірок у напівпровіднику є функцією температури та залежить від рівня Фермі EF.

Інтеграл Фермі залежно від величини параметра ξ можна наближено виразити таким чином2

2 Число 5 подано лише для визначеності. Виродження у напівпровідниках може наставати за перевищення рівнем Фермі дна зони провідності на величину кількох kT.

Тобто при ξ < –1 або EF < EC – kT залежність концентрації електронів від енергії та температури відповідає класичній статистиці Больцмана. Тоді кажуть, що напівпровідник є невиродженим. Таким чином, якщо рівень Фермі лежить нижче зони провідності не менше, ніж на вел и- чину kT, електрони підлягають класичній статистиці, і напівпровідник називається невиродженим. Якщо ж рівень Фермі лежить вище дна зони провідності більше, ніж на 5kT, то напівпровідник повністю вироджений. Згідно із (8.100) та (8.98), концентрацією електронів у невиродженому напівпровіднику є

У випадку повністю виродженого напівпровідника концентрація електронів

не залежить від температури, що узгоджується з класичним визначенням виродженого електронного газу. У перехідній області від невиродженого до повністю виродженого напівпровідника концентрація електронів залежить від температури та задається формулою

Ці результати легко узагальнити для випадку дірок. Для цього необхідно врахувати, що тепер інтеграл Фермі залежатиме від параметра η = (EV − EF)/kT. Таким чином можна дійти висновків: у невиродж е- ному напівпровіднику концентрація дірок визначається статистикою Больцмана, а умовами її застосування є

Отже:

У невиродженому напівпровіднику рівень Фермі лежить нижче дна зони провідності та вище стелі валентної зони не менш ніж на величину kT.

Замінюючи у (8.107) параметри електронів на параметри дірок, маємо концентрацію дірок у невиродженому напівпровіднику

Умови повного виродження для дірок записуються у вигляді

Це означає, що у повністю виродженому напівпровіднику рівень Фермі лежить у валентній зоні нижче її стелі на величину, не меншу за 5kT. Концентрація дірок для виродженого напівпровідника задається формулою

Зауважимо, що добуток концентрацій електронів і дірок у невигод- женому напівпровіднику не залежить від рівня Фермі

Це дуже важливе співвідношення, яке показує, що:

У невиродженому напівпровіднику в широкому інтервалі значень рівнів Фермі добуток концентрації електронів і дірок визначається тільки температурю та шириною забороненої зони й не залежить від положення рівня Фермі.

Часто (особливо в англомовній літературі) співвідношення (8.114) називають законом діючих мас. Це підкреслює, що добуток концентрацій електронів і дірок визначається шириною забороненої зони та добутком ефективних мас електронів і дірок.

8.5. Залежність положення рівня Фермі від температури

Нам вже відомо, що статистика носіїв заряду (електронів і дірок) у напівпровіднику може змінюватись за зміни положення рівня Фермі. Далі детально розглянемо ефекти, що викликають зміни положення рівня Фермі.

8.5.1. Рівняння електронейтральності

Для визначення статистичних характеристик носіїв у напівпровід- нику необхідно знати положення рівня Фермі EF, для чого варто в и- користати загальні закони, наприклад закон збереження заряду. Використовуватимемо так званий принцип електронейтральності – у кристалі в цілому та в будь-якому фізично малому об'ємі речовини сумарний заряд має бути нульовим.

Електрони виникають унаслідок іонізації донорної домішки та атомів основної речовини. Перехід електрона із валентної зони до зони провідності або до атомів акцепторної домішки викликає утворення вільних дірок у валентній зоні. Таким чином, від'ємний заряд, який дорівнює (n +NA− )e− , утворюють вільні електрони у зоні провідності та

іони акцепторів. Позитивний заряд, який дорівнює (p +ND+ )e+ , утворюють вільні дірки та іони донорів. Тут NA− та ND− – кількість іонізо-

ваних акцепторів і донорів в одиниці об'єму, відповідно. Оскільки e+ = −e− , то умову електронейтральності можна записати як

Ясно, що наявність (або відсутність) іонізованих домішок відіграє вирішальну роль у процесах формування електронних властивостей напівпровідника, тому питання про розподіл електронів або дірок на локальних домішкових рівнях є важливим і потребує додаткового розгляду із застосуванням відомих принципів статистичної фізики.

8.5.2.Концентрація електронів і дірок на простих домішкових центрах

Розглянемо простий випадок, коли домішковий центр нейтральний або одноразово іонізований, тобто може знаходитись тільки у двох зарядових станах (випадок багатозарядових центрів – див. додаток С). Нехай такий центр (для визначеності вважатимемо його донором)

характеризується рівнем енергії E1. Тоді концентрацією нейтральних центрів буде N1 = g1ND f, де ND – загальна концентрація донорів, f – функція розподілу Фермі–Дірака, а g1 – кратність виродження нейтрального центра. Концентрація іонізованих центрів, у свою чергу, ви-

Використовуючи (8.116), знайдемо функцію розподілу електронів за донорами

Якщо вважати, що електронний рівень нейтрального донора вироджений тільки за спіном, а іонізований донор невироджений, тобто g0 = 1, а g1 = 2, то із (8.117) маємо, що розподіл електронів задається такою функцією:

Коефіцієнт 2 перед експонентою вказує, що електронний рівень нейтрального акцептора невироджений, а рівень іонізованого акцептора вироджений за спіном. Для дірок маємо функції їх розподілу, відповідно:

Нехай ND і NA – кількість донорних та акцепторних домішок в одиниці об'єму напівпровідника, відповідно. Введемо позначення: nD, pD, nA, pA – кількість електронів і дірок, що знаходяться на донорних та

акцепторних рівнях. Тоді концентрація електронів, що знаходяться на донорних рівнях, визначається різницею концентрацій донорів та іонізованих донорів. З іншого боку, іонізований донор можна розглядати як дірку, що локалізована на донорному рівні. Тоді

Аналогічні рівняння можна записати і для акцепторних рівнів

Враховуючи, що щільність домішкових станів є просто δ-функцією,

Nd,a(E) = Nd,aδ(Ε −Ed,a), знайдемо:

 число електронів, що знаходяться на донорних рівнях

nD = ND fn(D )(ED ) і pA = NA f p(A)(EA ) , що є прямим наслідком δ-подібної щільності станів для домішкових центрів.

Повертаючись до (8.115), бачимо, що тепер рівняння електронейтральності набуває вигляду

Це рівняння записано для найпростішого випадку, коли є тільки по одному донорному та акцепторному рівню. Але воно однаково є дуже складним, і ми проаналізуємо лише деякі граничні випадки його роз- в'язків.