OFP-Tretyak-Lozovski

стала (воно еквівалентне рівнянню E0(k − g) = E0(k)), тобто розрив енергії відбувається на границі зони Бриллюена. Вважатимемо, що

k = 2π/λ (λ – довжина хвилі де Бройля), а g = 2πn/d, де n – ціле число, d – відстань між сусідніми атомними площинами. Якщо ввести кут ϑ між вектором k і нормаллю до атомної площини (що паралельна вектору g), то можна переписати (3.35) як

– умову Вульфа–Брегга для інтерференції рентгенівських променів, якщо ϑ є кутом падіння. Таким чином, виродження спостерігатиметься для станів (що лежать на границях зони Бриллюена), для яких має спостерігатися бреггівське відбиття. Отже причиною виникнення енергетичної щілини є інтерференція між падаючою та відбитою хвилями де Бройля. У напрямках, нормальних до атомних площин, виникають стоячі хвилі. Біжучі хвилі можуть існувати лише вздовж атомних площин. Зрозуміло, що збурення буде суттєвим і в деяких областях поблизу граней зони Бриллюена. Нехай k0 – хвильовий вектор на грані зони Бриллюена: g (k0 − g/2) = 0 і

Закон дисперсії (3.38) обчислено у так званому наближенні однієї бреггівської площини, тобто враховано розсіювання електрона тільки однією бреггівською площиною, що характеризується хвильовим вектором g/2. Зрозуміло, що фізично коректнішою є модель, де враховується розсіювання електрона парою бреггівських площин, які характеризуються хвильовими векторами ± g/2. У такому випадку закон дисперсії буде симетричним щодо заміни знака k на –k, а це відповідає вимозі симетрії моделі.

Приклад закону дисперсії подано на рис. 3.6, де через E(+) та E(–) позначено енергії, що відповідають дну другої зони та стелі першої зони, відповідно. При цьому перша зона відділена від другої щіли-

ною E(+) − E(–) = 2 Ug . Закон дисперсії вільного електрона показано на рисунку пунктирною кривою. Порівнюючи рис. 3.6 із законом дисперсії

3.4. Утворення енергетичних зон

Запишемо тепер розкладення у ряд Тейлора енергії (3.38) поблизу довільної точки k0, що лежить у площині грані зони Бриллюена. В и- користовуючи (3.42), (3.44) та (3.45), знайдемо

люена (область, де знаходиться початок координат k = 0), а E(+)k – із зовнішнього боку. Необхідно звернути увагу, що наявність розриву енергії у точках k0 ще не означає розривів в енергетичному спектрі E(k). Дійсно, для деяких точок біля границі зони Бриллюена із внутрішнього та зовнішнього її боків k1 і k2, відповідно, які розташовані близько одна

до одної і k1 > k2 , цілком може статись, що

тобто енергетичні смуги E(+)k та E(–)k в околі грані зони Бриллюена перекриваються, отже енергетичний спектр електронів у цьому випадку є неперервним. Таким чином на прикладі моделі квазівільного електрона показано, що енергетичний спектр електронних станів у періодичному потенціалі набуває характерних рис: завдяки інтерференції хвиль де Бройля електронів (перерозсіювання на регулярному потенціалі) виникають широкі смуги енергії (енергетичних зон), розділені смугами недозволених станів. При цьому утворюються області поблизу точок локальних мінімумів і максимумів енергії, де залежність

енергії від квазіімпульсу є квадратичною. В оберненому просторі ці точки лежать на гранях зони Бриллюена та характеризуються нульовою груповою швидкістю електронів у напрямку відповідного вектора оберненої ґратки. Зауважимо, що розкладення типу (3.47) можна виконати поблизу екстремальних точок будь-якого закону дисперсії. Цей факт лежить в основі методу ефективної маси, який широко використовується у фізиці напівпровідників.

3.5. Електрон у полі потенціалу Кроніга–Пенні

Ми розглянули особливості формування зонної структури в моделі квазівільного електрона, де зовнішні електрони при утворенні кристала вважались слабозв'язаними з атомом. При розгляді одновимірної моделі такого кристала ми використали модель потенціалу гребінця Дірака, де зонна структура формувалась шляхом розсіювання майже вільних електронів на регулярній ґратці нескінченно вузьких і високих бар'єрів. Розглянемо тепер ситуацію, коли кристал утворюють атоми з електронами, що сильно зв'язані на атомах. Непоганою моделлю такої ситуації в одновимірному випадку можна вважати електрон у потенціалі Кроніга–Пенні (рис. 3.9), що є набором еквідистантних прямокутних бар'єрів. Треба зауважити, що така модель добре описує властивості електронів у так званих надґратках – штучних системах гетеропереходів, що утворюють набір квантових ям та є однім з яскравих прикладів сучасних високих технологій квантово-розмірних структур.

Рис. 3.9. Потенціал Кроніга–Пенні

Зважаючи на те, що потенціальна енергія Ub(z) є періодичною фу-

нкцією z із періодом d, d = a + b, аналітично потенціал Кроніга–Пенні можна записати у вигляді

Розв'язки рівняння Шредингера відомі для кожного із доменів – це області ями та бар'єра. При цьому окремо необхідно розглядати випадки, коли енергія електрона перевищує або не перевищує величину потенціального бар'єра. Для значень енергії E < Vb в області a ≤ z ≤ a + b хвильова функція поперечного руху має вигляд двох еванесцентних хвиль, що затухають углиб бар'єра назустріч одна одній

В області ями – це дві плоскі хвилі, що розповсюджуються назустріч одна одній, тобто при 0 ≤ z ≤ a маємо

Використаємо той факт, що потенціал є періодичним за z. Оскільки гамільтоніан є періодичним, періодичними будуть і його власні функції та значення. Для довільного хвильового вектора q маємо

тобто доходимо висновку: розв'язок рівняння Шредингера задовольняє теоремі Блоха. Застосуємо тепер циклічні граничні умови до блохівської функції, вважаючи число N періодів потенціалу великим:

Для того, щоб співвідношення (3.58) виконувалось для хвильової функції (3.57), необхідно

де p – ціле число. Очевидно, що вектор q має бути дійсним. Крім того, існує N дозволених незалежних значень q. Відстанню між двома дозволеними величинами q є 2π/Nd. Без обмежень у загальному підході можемо розглянути значення q з інтервалу [−π/d, +π/d], який зазвичай є першою зоною Бриллюена в оберненому просторі задачі. Запишемо ці умови у компактному вигляді додаткової хвильової функції:

У граничному випадку необмежено товстого бар'єру права частина (3.65) розходиться як exp(kbb), коли коефіцієнт перед цією експонентою

не є нулем, тобто не виконується умова

Це рівняння збігається із рівнянням зв'язаних станів відомої кванто- во-механічної задачі про ізольовану квантову яму

Таким чином, зони за енергій електронів, менших від висоти потенціалу бар'єра Vb, з'являються як гібридизація зв'язаних станів ізольо-

ваних квантових ям завдяки тунельному зв'язку через бар'єр. Коли ба- р'єри є широкими (і/або високими), але кінцевими, то добуток kbb є

великим і зони – вузькими. Ширина зон пропорційна інтегралу передачі й швидко (експоненціально) зменшується зі зростанням b за фіксованого kb. Функція F( ) у правій частині (3.65) значно змінюється зі зміною

, й енергетичний сегмент, де F( ) <1, є вузьким. Для отримання наближених, але зручних виразів для дисперсійних співвідношень позначимо через 1, 2,… n зв'язані стани ізольованої квантової ями. Ро-

зкладаючи F( ) поблизу деякої енергії s, наприклад j у першому порядку, за – j, маємо для дисперсійних співвідношень для j-ї зони

69 Розділ 3. ЕЛЕКТРОН У ПЕРІОДИЧНОМУ ПОТЕНЦІАЛІ

Це рівняння є дисперсійним і пов'язує енергію із хвильовим вектором q. Для даної величини q існує нескінчена множина розв'язків рівняння (3.70). Для розрізнювання розв'язків індекс зони позначає енергію Е та хвильову функцію χ. Одновимірний блохівський стан залежить від двох квантових чисел n та q і позначається як nq >. Дозволені зони енергії розділяються щілиною. Для енергій, що відповідають енергетичним щілинам, не існує дозволених станів. Величина щілини між двома зонами nq > і n + 1, q > зменшується за зростання n. Для великих значень енергії ( >>Vb), kb kw і (3.70) зводиться до kw = q + 2jπ/d. По-

тенціал тепер майже не відчувається електронами із високими енергіями, тобто довжина хвилі електрона 2π/kw стає набагато меншою, ніж характерний період потенціалу d, і таким чином ефекти дифракції зникають. Зауважимо, що енергії, за яких kwL = pπ, завжди відповідають дозволеним станам. Дійсно, так само, як у випадку, коли енергія електрона в ямі менша від висоти бар'єра, при >Vb можна розв'язок (3.70) записати у вигляді, аналогічному (3.68)

3.6. Утворення енергетичних зон

утеорії квазізв'язаного електрона

Розглянемо тепер підхід до визначення енергії електрона в кристалі, що за нульового наближення набуває станів електронів одиничного атома. Цей підхід схожий на той, що ми використали при розгляді формування зонної структури електрона у потенціалі Кроніга–Пенні. Для розв'язку рівняння Шредингера для електрона у періодичному полі