OFP-Tretyak-Lozovski
.pdf
153 |
Розділ 8. СТАТИСТИКА ЕЛЕКТРОНІВ … |
впевненості в тому, що незаповнені електронні стани в майже повністю заповненій (валентній) зоні можна розглядати як частинки – дірки, визначимо динамічні характеристики таких станів. Розглянемо двовимірну зону Бриллюена, яка в невеликому околі поблизу центра зони зайнята електронними станами. Візьмемо для простоти систему за нульової температури, коли зайняті стани різко відділені від вільних. Нехай на таку систему діє зовнішнє електричне поле E, під дією якого всі стани зсуваються в оберненому просторі на величину
P = eEτ, |
(8.14) |
де τ – середній час вільного пробігу електронів. Оскільки зсув (8.14) не залежить від початкового стану Pi (0), то кожний зайнятий стан зсу-
вається у зоні Бриллюена на однакову величину. Це означає, що за досить значного часу (що суттєво перевищує час вільного пробігу електронів, t >> τ) всі зайняті стани як ціле зсунуться на величину (рис. 8.3)
ky
0
Pa
kx
E
Рис. 8.3. Зсув електронних станів у зоні Бриллюена
під дією електричного поля Е
Pi (t)= Pi (0)+eEτ . |
(8.15) |
Оскільки число всіх заповнених станів дорівнює n, то повний імпульс усіх електронів задаватиметься сумою
n
Pt = ∑Pi (t). (8.16) i=1
Зважаючи на той факт, що завдяки симет-
n
рії зайнятих станів сума ∑Pi (0)= 0, маємо
i =1
Pt =neEτ =nPa . |
(8.17) |
Тут Pa – середній імпульс, що приходиться на один електрон. Стану Pi відповідає швидкість електрона vi = Pi/m* та елементарний струм Ji =evi. Повний струм, що створює система електронів під дією елек-
тричного поля Е, визначатиметься сумою елементарних струмів за всіма зайнятими станами
|
e |
n |
|
|
|
e |
|
|
|
Jt = |
∑Pi = |
|
neτE . |
(8.18) |
|||||
* |
* |
||||||||
|
m |
|
i=1 |
|
m |
|
|||
Якщо ввести рухливість електронів за допомогою формули |
|
||||||||
|
|
µ |
= |
eτ |
, |
(8.19) |
|||
|
|
|
|||||||
то повний струм у системі |
|
|
n |
m* |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jt = enµnE . |
(8.20) |
||||||
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
154 |
Розглянемо тепер ситуацію, коли зона майже повністю заповнена. Нехай у зоні N' станів заповнені електронами, а p станів – вільні, причому останні знаходяться поблизу екстремуму енергії у центрі зони Бриллюена в околі точки k = 0 (рис. 8.4 а). Під дією зовнішнього електричного поля всі стани зсунуться на однаковий вектор ∆P = eEτ так, що і-й стан характеризуватиметься імпульсом
|
|
|
|
|
Pi (t)= Pi (0)+eEτ . |
|
|
|
(8.21) |
||||||||
|
ky |
|
|
ky |
|
ky |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Pa |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
б |
|
в |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 8.4. Зсув електронних станів |
|
|
|
|
|
||||||||
умайже повністю заповненій зоні Бриллюена під дією поля Е
Урезультаті переміщення зайнятих станів частина з них перейде із першої зони Бриллюена до другої, а в першій з'явиться деяка частина додаткових незайнятих станів (рис. 8.4 б). Але всі стани із другої зони шляхом додавання до них вектора оберненої ґратки можна перевести до першої зони. Тому всі зайняті стани знаходитимуться в першій зоні
Бриллюена, а незайняті – зсунуться щодо точки k = 0 на вектор Pa.
Знайдемо тепер повний імпульс, яким характеризуватиметься система електронів
N ′ |
N ′ |
b |
b |
N |
b |
Pt = ∑Pi = ∑Pi + ∑Pi −∑Pi = ∑Pi −∑Pi . |
|||||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Візьмемо до уваги, що сума всіх станів повністю заповненої зони Бриллюена дорівнює нулю, тобто перша сума у правій частині останньої рівності дає нуль. Тоді
b
Pt = −∑Pi = −peEτ . (8.22) i=1
Таким чином, завдяки періодичності кристалічного потенціалу сумарний імпульс сукупності N' електронних станів зсунеться не вздовж напрямку сили eE, а проти неї. Середній квазіімпульс, що приходиться на
один електрон, дорівнює Pt/N', отже середня швидкість електронів
va = − |
peτ |
E . |
(8.23) |
* |
|||
|
m N ′ |
|
|
155 |
Розділ 8. СТАТИСТИКА ЕЛЕКТРОНІВ … |
Оскільки ми розглядаємо стани майже заповненої зони, то N ≈ N' і p/N' <<1. Це означає, що під дією зовнішнього поля електрони набувають невеликої швидкості, тобто стани Pa знаходяться поблизу
точки P = 0 (рис. 8.4 в) або поблизу максимуму енергії, де ефективна маса є від'ємною. Таким чином можна визначити струм, що утворюється електронами майже заповненої зони Бриллюена
JzB = −eN ′µzB E , |
(8.24) |
де формально введено рухливість електронів майже заповненої зони Бриллюена
µ |
zB |
= − |
epτ |
|
. |
(8.25) |
|
m*N |
′ |
||||||
|
|
|
|
Якщо тепер ввести нові квазічастинки – дірки, згідно із правилом (дірки є квазічастинками, динамічні властивості яких тотожні динамічним властивостям сукупності електронів майже повністю заповненої зони), то статистику станів майже заповненої зони можна замінити статистикою елементарних збуджень – дірок. Дійсно, нехай
P(p) = P , |
(8.26) |
|
t |
t |
|
де Pt(p) – сумарний квазіімпульс дірок. Природно вважати, що число ді-
рок дорівнює числу всіх незайнятих станів. При цьому квазіімпульс дірки визначатиметься як казіімпульс вільного стану, взятий зі знаком мінус
Pp = −P0. |
(8.27) |
У цьому легко переконатися, якщо для простоти припустити, що в зоні існує єдиний незаповнений стан. Тоді сумарний імпульс електронів із майже заповненої зони
N ′
Pt = ∑Pi
i=1
можна знайти, зважаючи на те, що сумарний імпульс повністю заповненої зони є нулем, тобто при додаванні до суми величини квазіімпульсу вільного стану отримаємо суму квазіімпульсів усіх заповнених станів і квазіімпульс вільного стану зі знаком мінус
N
Pt = ∑Pi −P0 = −P0 .
i=1
Таке визначення квазіімпульсу дірки дозволяє зрозуміти, що передача квазіімпульсу діркою ґратці означає передачу квазіімпульсу ґратці сукупністю електронів, що майже повністю заповнюють стани у зоні Бриллюена. Оскільки dP0/dt = eE, то
dPp |
= − |
dP0 |
= − eE =|e|E . |
(8.28) |
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ |
156 |
Прирощення квазіімпульсу дірки відбувається так, начебто заряд частинки позитивний, тобто дірка є квазічастинкою із зарядом, що дорівнює заряду електрона, але позитивним. Запишемо тепер струм, що формується системою електронів, які майже повністю заповнюють стани в зоні Бриллюена
JzB = −|e|p |
eτ |
E =|e|p|e|*τ |
E . |
(8.29) |
* |
||||
m |
mp |
|
||
Якщо масу дірки визначити як масу електрона зі знаком мінус, то для струму, який виникає під дією поля Е, у системі електронів, що майже повністю заповнюють стани у зоні Бриллюена, можна записати вираз, який означає струм, утворений позитивно зарядженими частинками з
ефективною масою m*p = − m* . Тобто ефективну масу дірки можна
визначити як похідну другого порядку від закону дисперсії майже заповненої електронної зони.
1 |
= − |
1 |
= − |
1 |
d2E(k). |
(8.30) |
m*p |
|
m* |
|
2 dk2 |
|
|
При цьому дірка характеризується позитивною ефективною масою, якщо знаходиться поблизу стелі валентної зони, і негативною – якщо поблизу дна зони. Із (8.29) випливає, що на противагу електронам, які під дією електричного поля рухаються в напрямку проти поля, дірки рухаються в напрямку, що збігається з напрямком вектора поля, отже дрейфова швидкість дірки направлена по полю. Крім того, із (8.30) видно, що можна ввести закон дисперсії дірок через закон дисперсії
електронів у валентній зоні Ep(p) = −E(p). Це правило показує, що закон
дисперсії дірки визначається законом дисперсії електрона, але напрямок відрахування енергії буде протилежний щодо напрямку відрахування енергії електрона.
Таким чином, усі характеристики нової квазічастинки визначаються через характеристики електрона у валентній зоні.
Тепер легко визначити функцію розподілу для дірок, оскільки вони визначаються як квазічастинки, що займають у зоні Бриллюена вільні від електронів стани
f p =1− f . |
(8.31) |
Підставляючи сюди формулу для функції розподілу електронів (8.12), отримаємо
f p = |
|
|
|
|
1 |
|
. |
(8.32) |
|
|
(E |
p |
−E |
|
)/kT |
|
|||
e |
|
|
F |
|
+1 |
|
|||
Зважаючи на (8.31), легко зрозуміти сенс указаної на рис. 8.2 площі, що характеризує кількість дірок у системі як кількість не заповнених електронами станів.
E
