OFP-Tretyak-Lozovski

зменшується до енергій, що ненабагато перевищують середину забороненої зони, після чого починає повільно збільшуватись. Ця область температур називається областю виснаження (збіднення) донорів й характеризується тим, що всі донори за таких температур є іонізов а- ними. За подальшого збільшення температури основну роль у генерації носіїв відіграють переходи зона–зона, тобто напівпровідник поводиться як власний. При цьому, згідно із (8.182), температура, за якої настає власна провідність, буде тим меншою, чим меншими є ширина забороненої зони та концентрація домішки. Вона також зменшується для важких носіїв заряду.

На рис. 8.14 та 8.15 подано залежність положення рівня Фермі від тем- ператури в донорному та акцепторному напівпровідниках.

8.5.5.Напівпровідник, що містить акцепторну та донорну домішки

Розглянемо тепер випадок, коли напівпровідник одночасно легований домішкою як донорного, так і акцепторного типу. Припустимо, що Т = 0. Тоді валентна зона буде повністю заповнена, а зона провідності – порожня. Оскільки в напівпровіднику міститься NA вільних станів і ND електронів, то електрони намагатимуться зайняти рівні з найменшими енергіями та перейдуть від донорів до акцепторів. Це пов'язано з тим, що енергетичні рівні акцепторів лежать нижче донор- них рівнів. Якщо NA = ND, то в кристалі утворюється однакова кількість позитивно та негативно заряджених іонів ND+ = NA− . Нехай тепер тем-

пература зростає. Оскільки на донорному рівні електронів немає, то до зони провідності можливі переходи тільки із валентної зони та з рівня ЕA. Але відстань ЕC − ЕA майже дорівнює ширині забороненої зони, тому концентрація n зростатиме майже як у власному напівпровіднику.

При Т = 0 рівень Фермі лежатиме майже на середині забороненої зони, як й у власному напівпровіднику. Такий напівпровідник називається компенсованим, оскільки відбувається повна компенсація домішок, які не є постачальниками електронів і дірок (рис. 8.16).

а б

Рис. 8.16. Енергетична діаграма компенсованого напівпровідника (ND > NA):

а – Т = 0; б – Т ≠ 0

Якщо концентрації домішок різного типу різні, то компенсація не буде повною. Нехай ND > NA, тоді величина ND′ = ND −NA відіграватиме

роль домішки одного типу. Запишемо рівняння електронейтральності

При T→0 концентрації n та p обнулюються, і рівняння електронейтральності спрощується

Припустимо, що рівень Фермі лежить вище енергії акцепторної домішки, тобто EF > EA. Тоді рA = 0 при Т = 0, і рівняння електронейтральності спрощується

Видно, що за нульової температури EF = ED, тобто у напівпровіднику із

домішками двох типівза нульової температури рівень Фермі збігається з рівнем енергії тієї домішки, концентрація якої є більшою. Для визна-

чення концентрації електронів запишемо загальний вираз для концентрації електронів у невиродженому напівпровіднику

тобто енергія активації (δEa = EC – ED) дорівнює енергії іонізації доно-

рної домішки, у той час як учисто донорному напівпровіднику енергія активації удвічі менша. Ці формули можна використовувати не тільки

за дуже низьких температур T → 0, але й при T ≠ 0. Із (8.189) видно, що зі зростанням температури рівень Фермі зсувається від EF = ED вверх або вниз залежно від співвідношення між NA і ND. Якщо ND = 3NA, то EF = E, і рівень Фермі не залежить від температури (доки виконуються вихідні умови). При ND > 3NA рівень Фермі піднімається вгору тим швидше, чим меншим є NA.

Детальніший аналіз показує, що наявність компенсуючої домішки викликає швидкіші зміни положення рівня Фермі. При цьому, якщо концентрації домішок донорів і акцепторів не значно різняться, при

T = 0 рівень Фермі збігається з енергією тієї домішки, концентрація якої є більшою. Підвищення температури приводить до переходу до власного напівпровідника, причому температура такого переходу тим

8.5.6. Вироджений напівпровідник

Як відомо, виродженим є напівпровідник, де рівень Фермі лежить усередині дозволеної енергетичної смуги на відстані, що перевищує кілька kT від її границі. Концентрація електронів при цьому не залежить від температури. Таку ситуацію можна відтворити належним легуванням напівпровідника за визначених значень температури. Дійсно, як ми бачили вище, зі зростанням температури рівень Фермі у домішковому напівпровіднику наближається до смуги зони провідності. Знайдемо положення максимуму рівня Фермі зі зміною температури. При цьому для визначеності розглядатимемо донорний напівпровідник. Виходимо із рівняння для рівня Фермі у напівпровіднику, що має тільки донорну домішку

Умова максимуму положення рівня Фермі як функції температури дає

Підставляючи цей вираз до (8.193), отримуємо

Концентрація домішки, за якої рівень Фермі збігається із дном зони провідності EFmax = EC, називається критичною. Знайти її можна із такої

умови

Пригадаємо, що NC пов'язано з температурою через співвідношення NC = const T 3/2. Тоді з (8.197) знаходимо

Далі із (8.199) отримуємо, що критична концентрація домішки, за якої починається виродження напівпровідника,

Ця критична концентрація початку виродження напівпровідника суттєво залежить від енергії іонізації домішки та через const (md* /m)3/2 –

від ефективної маси. Таким чином, збільшуючи концентрацію доміш- ки, можна ефективно зсунути рівень Фермі високо до зони провідності, і таким чином перетворити напівпровідник на вироджений. Оцінка

критичної концентрації (8.201) для Ge, де (md* /m)= 0,56 , легованого миш'яком (EC − ED = 0,013 eB), дає NDcr =1,2 1019 cм−3 .

8.6. Задачі

1.Як зміниться концентрація електронів власного напівпровідника, якщо температура зросте з T1 до 3/2T1, а залежність забороненої зони від температури є

лінійною Eg = Eg(0) −αT .

2. Нехай у власному напівпровіднику n(T1 = 400 K) = 1,3 1016 см–3 та n(T2 = 350 K) = 6,2 1015 см–3. Припустимо, що ширина забороненої зони змінюється зі зміною температури за лінійним законом Eg = Eg(0) −α T . Знайдіть ши-

рину забороненої зони напівпровідника при Т = 0 К. (Використайте результат попередньої задачі.)

3. У випадку вироджених валентних зон закон дисперсії дірок поблизу стелі валентної зони має вигляд

Обчисліть щільність станів та ефективні маси легких і важких дірок.

Розв'язок.. Згадаємо, що основна ідея введення щільності станів полягає в необхідності обчислення інтегралів типу

Припустимо, що функція F(k) є неявною від змінних k, ϑ, φ, де ϑ, φ – полярний та азимутальний кути, які визначають напрямок хвильового вектора. З іншого боку, ця

функція є явною функцією змінних E, ϑ, φ, де Е – енергія частинки, що пов'язана з

модулем хвильового вектора співвідношенням k = k(E). Тоді в інтегралі (8.203) можна перейти до нових змінних

де J – якобіан переходу від змінних k, ϑ, φ до змінних Е, ϑ, φ. Запишемо закон дисперсії (8.202) у вигляді

який підставимо до виразу у квадратних дужках(8.204). Маємо щільність станів легких і важких дірок

Введемо ефективні маси щільності станів дірок, згідно із формулою

Тоді щільність станів (8.211) запишемо у стандартному вигляді

Таким чином у напівпровіднику із кейновським законом дисперсії щільність станів легких і важких дірок можна записати у стандартному вигляді з ефективними масами щільності станів (8.213).

4. Закон дисперсії дірок у валентній зоні Ge можна представити у вигляді

де B = 10,03, A = 13,3, δ = 0,27. Знайдіть ефективні маси щільності станів для зон важких і легких дірок та ефективну щільність станів. Обчисліть частку легких дірок.

5. Враховуючи можливість виродження носіїв у донорному напівпровіднику, оцініть концентрацію донорів ND, за якої рівень Фермі попадає до зони провідності.

Φ1/2(ζ)= eζ(1+0,3eζ )−1

6. Домішка утворює два акцепторних рівня у забороненій зоні. Знайдіть залежність концентрації нейтральних, однота дворазово заряджених домішкових центрів від положення рівня Фермі та температури.

Розв'язок. У результаті перезарядки центрів можуть відбуватись тільки такі переходи з одноразово зарядженого центра: N1→N0 та NI→NII. Оскільки концентрація n-разово заряджених домішок пропорційна функції розподілу f(n) (див. додаток C), можна записати, що

Повна концентрація домішок дорівнює сумі нейтральних, однота дворазово заряджених домішок: N = N0 + N1 + N2. Звідси маємо

Проаналізуємо отриманий результат. При E1 – EF >>kT маємо: якщо EF < E1, то N0 ≈ N, N1 ≈ 0, N2 ≈ 0. Усі домішки знаходяться в нейтральному стані. Коли рівень Фермі потрапляє до інтервалу E1 < EF < E1 + U за умови, що

>>kT та EF – E1 – U >>kT, маємо N0 ≈ 0, N2 ≈ 0, N1 ≈ N, тобто всі домішки є одноразово іонізованими. За умови, коли EF − E1 − U >>kT, маємо, що в інтервалі значень рівнів Фермі EF > E1 + U концентрація заряджених центрів розподілена таким чином: N0 ≈ 0, N1 ≈ 0, N2 ≈ N, тобто всі домішки є дворазово іонізованими.

Список літератури

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – М.: Наука, 1976. – Ч. 1.

2.Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая шк., 1975.

3.Ю Питер, Кардона Мануэль. Основы физики полупроводников. – М.: Физматлит,

2002.

4.Balkanski M., Wallis R.F. Semiconductor Physics and Applications. – Oxford: Oxford

Univ.Press., 2000.

5. Ming-Fu Li. Modern Semiconductor Quantum Physics. – World Scientific, 1995.