Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 7225 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

252

Усі ці феноменологічні співвідношення набувають замкненої форми, якщо в рамках деякої моделі обчислити коефіцієнт випромінювальної рекомбінації. Для цього припустимо, що при поглинанні кожного фо-

тона з енергією Eg = ω у кристалі утворюється електрон-діркова пара. У

такому випадку кажуть, що квантовий вихід генерації носіїв світлом дорівнює одиниці. Це означає, що швидкість поглинання фотонів (кількість фотонів, що поглинаються одиницею об'єму кристала за одиницю часу) дорівнює швидкості генерації електронно-діркових пар g. В умовах термодинамічної рівноваги швидкості генерації і рекомбінації дорівнюють одна одній. Величина g0 є числом фотонів, що поглина-

ються одиницею об'єму напівпровідника за одиницю часу. Вона визначається як інтеграл

g0 = ∞∫ f (ω)N(ω)dω,	(10.62)
0

де N(ω) – щільність фотонів в інтервалі частот dω, а функція f(ω) визначає ймовірність поглинання фотона із частотою ω за одиницю часу. Дійсно, оскільки функція розподілу частинок f визначається як ймовірність попадання однієї частинки у даний об'єм фазового простору, то для визначеного одиничного об'єму ця функція визначає ймовірність однієї частинці мати енергію, що характеризується частотою ω. Таким чином за функцію f(ω) братимемо модифіковану функцію розподілу Бозе–Ейнштейна

g(ω)	,
f ( ω)= e ω/kT −1	,	(10.63)

де g(ω) – ймовірність поглинання фотона даною системою, що визначається коефіцієнтом поглинання α

g(ω)= α(c/n).	(10.64)

Тут с – швидкість світла у вакуумі, n – коефіцієнт заломлення світла у даному кристалі. Знайдемо тепер функцію N(ω). Усі фотони в енергетичному інтервалі від ω до (ω + dω), в імпульсному просторі знаходяться між сферами радіусів p та p + dp. Об'єм такого сферичного шару

	V = 4πp2dp .								(10.65)
З іншого боку, імпульсом фотона є						ωn
		ω
	p =			=				.	(10.66)
		ν					c
	3				3
			n		2
Тоді	V = 4π						ω dω.		(10.67)
			c3

253	Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ…

Оскільки N(ω)dω = V/8π3 3 , то остаточно (із врахуванням двох можливих поляризацій світла) маємо

N(ω)dω =	n3		ω2dω.	(10.68)
N(ω)dω =	2	3	ω2dω.	(10.68)
	π c

Після підстановки (10.63), (10.64) та (10.68) до (10.62), отримаємо

	1	∞		2	α	2
			n
g0 =		∫0				ω dω.	(10.69)
	π2c2		exp( ω/kT )−1

Звідси для коефіцієнта випромінювальної рекомбінації знайдемо

		γe =			1	J ,	(10.70)
		γe =		2 2 2		J ,	(10.70)
			π c ni
	∞			2	α
де	J = ∫		n		α		ω2dω.
де	J = ∫						ω2dω.
	0 exp( ω/kT )−1

Тепер можна записати вирази для часу життя нерівноважних носіїв у напівпровіднику, що визначається міжзонною випромінювальною рекомбінацією:

 у загальному випадку слабкого рівня інжекції

τ	= τ	p	= 1		π2c2ni2	.	(10.71)
n		p	J	n0 + p0
			J	n0 + p0

 у домішковому напівпровіднику n-типу за слабкого рівня інжекції

τ	= π2c2 p	1	,	(10.72)
n		0 J

 у домішковому напівпровіднику р-типу за слабкого рівня інжекції

τp = π2c2n0	1	,	(10.73)
	J

тобто в легованому напівпровіднику із досить великим рівнем легування час життя нерівноважних носіїв визначається рівноважною концентрацією неосновних носіїв. У випадку великих рівнів інжекції час життя нерівноважних носіїв визначається універсальною формулою

τ	= τ	p	= 1	π2c2	.	(10.74)

n			J	δn

Для визначення параметра J необхідно знати коефіцієнт поглинання світла напівпровідником. Для прямих міжзонних переходів він визначається щільністю станів носіїв

α(E )=C

2π

3/2

(a )

1/2

(10.75)

(a )

(E )

mi +mf

(E )

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

254

де mi та m(fa ) – ефективні маси щільності станів вихідної та кінцевої

зон, відповідно; С – деякий коефіцієнт. У випадку непрямих переходів коефіцієнт поглинання світла

	(E −(Eg −kΘ))2		(E −(Eg +kΘ))2
α(E)= A		−		.	(10.76)
α(E)= A	1−exp(−Θ/T )	−	1−exp(Θ/T )	.	(10.76)
	1−exp(−Θ/T )		1−exp(Θ/T )

Стала А для германію складає величину 2600 eB–2cм–1, для кремнію –

3600 eB–2cм–1, Θ – температура Дебая. Використовуючи ці вирази, можна отримати для коефіцієнта випромінювальної рекомбінації:

 за прямих переходів

(d)

−12

3/2

−1

). (10.77)

= 0,58

(1+1/m

+1/m

)

, (cм

300

 за непрямих переходів

(i )

−20

−1

2,17 10

cth

, (cм

(10.78)

m*m*

Як видно, завжди γe(d ) >> γe(i ) , тобто випромінювальна міжзонна рекомбінація ефективніше відбувається у прямозонних напівпровідниках.

10.3.2. Міжзонна ударна рекомбінація

Процес міжзонної ударної рекомбінації вимагає участі трьох частинок: крім рекомбінуючої електронно-діркової пари потрібний ще електрон або дірка, яким передаються енергія та імпульс, вивільнені за рекомбінації. Таким чином цей процес характеризується двома перерізами захоплювання – ймовірністю захоплювання при передачі енергії електрону γnn та ймовірністю захоплювання при передачі енергії

дірці γpp. Необхідно ще ввести швидкість захоплювання r, яка тепер

буде пропорційна не квадрату, а кубу концентрації носіїв. Таким ч и- ном, можна записати швидкість рекомбінації при передачі енергії рекомбінуючої пари електрону

r = γ	nn	n2 p .	(10.79)
n	nn

Якщо енергія рекомбінуючої пари передається дірці, то швидкість рекомбінації

rp = γppnp2 .	(10.80)
Повна швидкість рекомбінації
r =rn +rp .	(10.81)

255	Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ…

Позначимо ці швидкості процесів в умовах термодинамічної рівноваги через rn0 та rp0 і знову вважатимемо, що ймовірності захоплювання для

рівноважних і нерівноважних носіїв однакові. Тоді маємо

	r			rp0	.
γnn =	n0	,	γpp =			(10.82)
γnn =	2	,	γpp =	2		(10.82)
	n0 p0			p0n0

Повна швидкість рекомбінації, згідно із (10.81), визначатиметься r = (γnnn + γpp p)np .

		r		rp0
Звідси	r =	n0	n +		p np .
Звідси	r =	2	n +	2	p np .
	n0 p0			p0n0

(10.83)

(10.84)

Вважатимемо, що процесу ударної рекомбінації відповідає зворотний процес ударної іонізації, який спричиняє генерацію електрон- но-діркових пар. Швидкість цього процесу пропорційна концентрації швидких електронів

	g	n	= γ′	n ,	(10.85)
		n	nn
і, аналогічно, дірок	gp = γ′pp p .				(10.86)

Вважаючи ймовірність ударної іонізації однаковою для рівноважних і нерівноважних носіїв, можна записати

γ′	= gn0 ,	γ′	=	gp0	.	(10.87)
nn	n0	pp		p0
	n0			p0

У рівноважних умовах процеси генерації і рекомбінації відбуваються з однаковою швидкістю, тобто

rn0 = gn0 , rp0 = gp0 .

(10.88)

Тоді, зважаючи на співвідношення (10.84),(10.88) і той факт, щоg = gn + gp, отримаємо для повної швидкості рекомбінації

2		n		p
R =r −g = np −2ni	rn0		+rp0		.	(10.89)
				p0
ni		n0

Оскільки час життя нерівноважних носіїв у даному процесі τ = δn/R, то із (10.89) маємо

τ =			δnni2					.	(10.90)
(np −n2 )		r		n	+r		p
						p0
	i		n0				p0
				n0
Далі перетворюємо вираз np −ni2 ,			із врахуванням того, що ni2 =n0 p0 і
δn = δp. Тоді n − n0 = p − p0. Звідси p = n − n0 + p0									і можна записати:

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

256

np −ni2 =n(n −n0 + p0 )−n0n0 =n(n −n0 )+ p0(n −n0 )= δn(n + p0 ). Тепер n = p–p0 + n0 і

np −ni2 = δn(n + p0 )= δn(p − p0 +n0 + p0 )= δn(n0 + p0 + δn).

У результаті (10.90) можна записати у вигляді

	τ =							ni2															.		(10.91)
	τ =		(n	0	+ p		0	+ δn) (r			(n/n				0		)+r	p0	(p/p		0	))	.		(10.91)
				0			0	n0							0			p0			0
									r				n
Введемо позначення								β =	p0 0							.									(10.92)
Введемо позначення								β =	r p							.									(10.92)
											n0		0
Тоді рівняння (10.91) перетворюється на
τ =									ni2															.	(10.93)
τ =	(n	0	+ p		0	+ δn ) (r /n				0		)(n		0		+ δn +β(p				0		+ δn))		.	(10.93)
		0			0			n0		0				0						0
У власному напівпровіднику (n0 = р0 = ni)																		час життя нерівноважних

носіїв за низького рівня інжекції (δn << p0, n0) та умови, що за релаксації енергія в основному передається електронам (зазвичай завдяки малій їхній ефективній масі), тобто

β(p0 + δn) << n0+ δn,			(10.94)
як випливає із (10.93), визначається формулою
τ =	n0	.	(10.95)
i	2rn 0
	2rn 0

Тоді остаточно можна записати для часу життя нерівноважних носіїв за міжзонної ударної рекомбінації

		2τ n2		.
τ =		i i			(10.96)
τ =	(n0 + p0 + δn)(n0 +δn +β(p0 +δn))				(10.96)
За низьких рівнів інжекції маємо
		2τ n2	,
	τ =	i i			(10.97)
	τ =	(n0 + p0 )(n0 +βp0 )			(10.97)

звідси:

 для напівпровідників n-типу

τ = 2τini2

n02

для напівпровідників р-типу

τ=

=	2τi p0		<< τ ;	(10.98)

			i
	n0
2τ n2
	i i	.		(10.99)
βp02

На відміну від випромінювальної, за ударної рекомбінації у випадку низьких рівнів інжекції час життя нерівноважних носіїв обернено

257	Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ…

пропорційний квадрату концентрації основних носіїв заряду. За високих рівнів інжекції (δn >> n0, p0) із (10.96) випливає, що час життя нерівноважних носіїв визначається формулою

n		i	2	1	.
τ = 2τi		i			.	(10.100)
	δn			1+β

Оскільки зазвичай можна вважати, що β << 1, то із (10.100) отримуємо, що час життя нерівноважних носіїв, які виникають унаслідок процесів ударної іонізації за високих рівнів інжекції, пропорційний квадрату концентрації носіїв і обернено пропорційний рівню інжекції

n		i	2
τ = 2τi		i	.	(10.101)
	δn

У всіх аналізованих в цьому підрозділі формулах характеристикою напівпровідника як матеріалу є величини швидкості захоплювання rn0

та rp0, що визначаються через ймовірності захоплювання γnn Мікроскопічний розгляд дає для цих величин вираз

	0,2m*e4 kT 3/2							Eg +Wi	,
γnn =			3	W		NC NV exp	−
								kT
		π
					i

та γpp.

(10.102)

де Wi – параметр розмірності енергії, що залежить від деталей зонної структури напівпровідника. Зазвичай приймають, що Wi ≈ 3Eg/2.

Таким чином, із (10.102) можна зробити висновок: у матеріалах із вузькою забороненою зоною ймовірність ударної рекомбінації може бути помітною величиною, що швидко зростає за підвищення температури.

10.3.3.Рекомбінація через однозарядні локальні центри (за Шоклі–Рідом)

Припустимо, що в напівпровіднику наявні дефекти, рівні енергії Et яких лежать глибоко у забороненій зоні, а їхньою концентрацією є Nt.

Розглянемо процеси захоплювання носіїв такими дефектами та спустошення дефектів за втрати ними захопленого носія:

нейтральний дефект захоплює вільний електрон, і за деякий час негативно заряджений дефект віддає електрон у зону провідності. Дефект, який захоплює вільні електрони із зони провідності та згодом, за деякий час, повертає їх до зони, називається пасткою захоплю-

вання електрона;

нейтральний дефект захоплює вільну дірку (віддає електрон у ва-

лентну зону) і за деякий час цей позитивно заряджений дефект захоп-

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

258

лює електрон із валентної зони, тим самим вивільнюючи дірку. Такий дефект називається пасткою захоплювання дірки;

захопивши електрон із зони провідності, негативно заряджений дефект захоплює дірку (віддає захоплений електрон у валентну зону) перетворюючись на нейтральний: відбувається процес рекомбінації електрона та дірки на дефекті;

захопивши вільну дірку, позитивно заряджений дефект захоплює вільний електрон, тим самим стає нейтральним: відбувається процес рекомбінації електрона та дірки на дефекті.

Характерною рисою пасток захоплювання є те, що вони в основному взаємодіють тільки з однією зоною – валентною (пастка захоплювання дірки) або провідності (пастка захоплювання електрона). Для

того, щоб дефект спричинив рекомбі-

націю пари вільних носіїв, він має взаємодіяти з обома зонами. Розгля-

немо простий випадок рекомбінації

через один тип локальних центрів. Ймовірність процесу 1 (рис. 10.7) буде пропорційна кількості електронів у зоні провідності n і числу вільних від електронів

рівнів на дефектах Nt (1–f), де f – сту-

пінь заповнення рекомбінаційних центрів електронами. З іншого боку,

ймовірність оберненого процесу 1'(ге-

–	–	EC
	1'	EC
1	1'	Et
2	2'	EV
+	+	EV
+	+

Рис. 10.7. Процес рекомбінації електрона та дірки на дефекті

нерації вільного електрона) пропорційна кількості електронів на рівні Et – Nt f. У результаті швидкість рекомбінації електронів (тобто швид-

кість зміни концентрації електронів у зоні провідності)

R = −dn = γ	n	N	n(1− f )−β N	t	f ,	(10.103)
dt	n	t	n	t
dt

де γn та βn – деякі коефіцієнти. В умовах термодинамічної рівноваги у

зоні провідності встановлюється стала у часі рівноважна концентрація електронів, яка описується рівноважною функцією розподілу f0. Тоді з

умови dn/dt = 0 маємо

1− f	0 .
βn = γnn0 f0	0 .	(10.104)

Нехай ступінь заповнення рекомбінаційних рівнів описується рівноважною функцією розподілу Фермі f0 = [exp(–(Et – Ef )/kT) – 1]–1,

а концентрація електронів у зоні провідності – розподілом Больцмана (напівпровідник невироджений). Якщо енергію відраховувати від дна зони провідності, то концентрація електронів у зоні провідності описуватиметься формулою

259 Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ…

n0 = NCeEF/kT .

Врахуємо тепер, що 1 – f0

= exp(–(Et – Ef )/kT )[exp(–(Et – Ef )/kT) + 1]–1 і

знайдемо що

Et −EF

1− f

= e−

(10.105)

Підставимо (10.105) до (10.104) та отримаємо

−

Et +EF

−

= γ

ekT e

= γ

e kT .

(10.106)

Для спрощення подальших записів введемо позначення

n = N

−

(10.107)

kT ,

що має сенсконцентрації електронів у напівпровіднику, в якого рівень Фермі дорівнює енергії центрів рекомбінації EF = –Et. Тоді

βn = γnn1 .

(10.108)

Оскільки повний процес рекомбінації відбувається за взаємодії локальних рівнів як із зоною провідності, так і з валентною зоною, зр у- чно переписати рівняння балансу (10.103) для рекомбінаційних рівнів. Враховуючи (10.108), із (10.103) отримаємо для нерівноважного випадку

R	= −γ	n	N	t	[n(1	− f )−n f ].	(10.109)
n		n		t		1

Розглянемо тепер процес рекомбінації дірок: ймовірність захоплювання дірок на рекомбінаційні центри (процес 2, рис. 10.7) пропорційна добутку кількості дірок у валентній зоні р і числу рівнів, вільних від дірок (зайнятих електронами Nt f). Число зворотних переходів (процес

2') пропорційне кількості дірок на рекомбінаційних рівнях Nt (1 – f).

Таким чином темп зміни концентрації дірок у валентній зоні описуватиметься рівнянням

Rp = −dp	= γpNt pf −βpNt (1− f ).	(10.110)
dt

Аналогічно тому, як було зроблено для процесів 1 та 1', з умов рівноваги dp/dt = 0, p = p0, f = f0, отримаємо

	βp = γp p1 ,						(10.111)
де					−	Eg −Et
	p	= N	V	e		kT	(10.112)

	1

– концентрація дірок, за якої рівень Фермі збігається з енергетичним рівнем рекомбінаційних центрів. Тоді, аналогічно до (10.109), запишемо для швидкості зміни концентрації дірок на рекомбінаційних рівнях

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

260

R	p	= dp = −γ	p	N	t	[pf − p	(1− f )].	(10.113)
	p	dt	p		t	1
		dt

У стаціонарному випадку число електронів, що потрапили на рівень Et і зникли звідти за одиницю часу, однакове, тобто має виконуватись

рівняння балансу

dn	= dp	,	(10.114)
dt	dt

з якого отримуємо рівняння для визначення нерівноважної функції розподілу

γp [pf − p1(1− f )]= γn [n(1− f )−n1 f ],

				γnn + γp p1
розв'язок якого дає	f =							.	(10.115)
розв'язок якого дає	f =	γ	n	(n +n	)+ γ	p	(p + p )	.	(10.115)
			n	1		p	1

Для визначення часу життя нерівноважних електронів у зоні провідності

τ = δn/Rn(C )

(10.116)

підставимо функцію розподілу (10.115)

до (10.109) і замінимо R(C ) = −R .

Маємо R(C ) = γ

[n −(n +n )f ]. Зважаючи на (10.115), обчислимо тепер

дужку n −(n +n1 )f = γp (np −n1 p1 )/(γn (n +n1 )+ γp (p + p1 )). Таким чином

(C )

γp (np −n1 p1 )

= γnNt

(n +n )+ γ

(p + p )

Враховуючи, що добуток n1p1 записано для рівноважного випадку, тобто він дорівнює n0p0, а також, що n = n0 + δn і δp = δn, знайдемо для часу релаксації

	n0 +n1 + δn		p0 + p1 + δn
τ =		+		.	(10.117)
	γpNt (n0 + p0 + δn)		γnNt (n0 + p0 + δn)

Для з'ясування фізичного сенсу коефіцієнтів γn та γp розглянемо донорний напівпровідник (n0 >>p0) із незначною кількістю центрів рекомбінації, рівень яких лежить у верхній частині забороненої зони (p1 << n1) в умовах слабкої інжекції (δn << n0, p0). У цих умовах (10.117)

показує, що в легованому напівпровіднику n-типу час життя нерівноважних носіїв визначається тільки концентрацією рекомбінаційних центрів та ймовірністю захоплювання дірки центром. За збіл ь- шення концентрації мілких донорів час життя зменшується та прямує

до величини τp0 – часу релаксації у сильно легованому напівпровіднику n-типу.

261	Розділ 10. ГЕНЕРАЦІЯ ТА РЕКОМБІНАЦІЯ НОСІЇВ ЗАРЯДУ…

τ =

+ n1

≈

= τ

(10.118)

γnNtn0

γpNt

У випадку, коли енергетичний рівень пасток знаходиться в нижній частині забороненої зони (n1 << p1), замість (10.118) маємо за зростання концентрації донорних мілких рівнів, що

τ =	1	+	p1	≈	1	= τ	p0	.	(10.119)
	γpNt		γnNtn0		γpNt		p0
	γpNt		γnNtn0		γpNt

Аналогічно в легованому кристалі р-типу час життя нерівноважних носіїв визначається тільки концентрацією рекомбінаційних центрів та ймовірністю захоплювання центром електрона

τ	=	1	.	(10.120)
n0		γnNt

З використанням цих позначень остаточно отримуємо так звану формулу Шоклі–Ріда, яка пов'язує час життя нерівноважних носіїв з їх рівноважною концентрацією, рівнем інжекції δn і часом життя неосновних носіїв. Крім того, оскільки n1 та p1 визначаються енергією Et, то ця

формула визначає залежність часу життя від типу рекомбінаційних центрів

	n0 +n1 + δn		p0 + p1 + δn
τ = τp0		+ τn0		.	(10.121)
	n0 + p0 +δn		n0 + p0 + δn

За низького рівня інжекції формула Шоклі–Ріда переходить у

τ		= τ	n0 +n1	+ τ	p0 + p1	.	(10.122)
	0		p0 n0 + p0	n0 n0 + p0

Зауважимо, що в такому наближенні час життя нерівноважних носіїв визначається винятково термодинамічно рівноважними концентраціями електронів n0 і дірок p0. При цьому у напівпровіднику n-типу часом життя за низьких рівнів інжекції є

τ0	= τp0		+ n1		(1.123)
τ0	= τp0	1	+ n1	.	(1.123)
			n0

Припустимо, що величина τp0 не залежить від температури. Тоді для

аналізу залежності часу τ від температури згадаємо, що за зміни те м- ператури в напівпровіднику відбуваються як зміна концентрації носіїв заряду, так і зміна положення рівня Фермі щодо рівнів мілких донорів (акцепторів) і глибоких рівнів рекомбінаційних центрів.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 7225 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019360 Кб5OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019219 Кб2OE_Lab_7.doc
#
07.03.2016828 Кб7OECD_OsloManual_rus.pdf
#
08.11.2019295 Кб4OED_n_S Work Program 2009.doc
#
01.07.202582 Кб1Oformlenja DP.doc
#
19.03.201513 Мб68OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151 Мб20Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20152 Мб13Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015152 Кб212OiV_1-6.docx
#
18.11.201972 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181 Кб1OncoGen.doc